Олимпиадная задача по теории чисел: целочисленное уравнение (x² – y²)² = 1 + 16y для 8-10 классов

  Ясно, что  y ≥ 0,  откуда левая часть не меньше  (2y – 1)²,  так как модуль разности y² и любого точного квадрата (если  y ≥ 0  и квадраты различны) не меньше  |2y – 1|.  Итак,  (2y – 1)² ≤ 1 + 16y,  откуда  y ≤ 5.  Следовательно, правая часть может принимать значения 1, 17, 33, 49, 65, 81, из них квадратами являются только 1, 49, 81. Рассмотрим три случая.

  1)  y = 0,  (x&sup2)² = 1,  откуда  x = ±1.

  2)  y = 3,  (x² – 9)² = 49,  откуда  x² = 16,  то есть  x = ±4.

  3)  y = 5,  (x² – 25)² = 81,  x² = 34 или 16,  то есть  x = ±4.

(±1, 0),  (±4, 3),  (±4, 5).