Олимпиадные задачи из источника «2005-2006» - сложность 3-5 с решениями

Медиану <i>AA</i>₀ треугольника <i>ABC</i> отложили от точки <i>A</i>₀ перпендикулярно стороне <i>BC</i> во внешнюю сторону треугольника. Обозначим второй конец построенного отрезка через <i>A</i>₁. Аналогично строятся точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁. Найдите углы треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, если углы треугольника <i>ABC</i> равны 30°, 30° и 120°.

В клетчатом квадрате 101×101 каждая клетка внутреннего квадрата 99×99 покрашена в один из десяти цветов (клетки, примыкающие к границе квадрата, не покрашены). Может ли оказаться, что в каждом квадрате 3×3 в цвет центральной клетки покрашена еще ровно одна клетка?

Каждая деталь конструктора "Юный паяльщик" – это скобка в виде буквы П, состоящая из трёх единичных отрезков. Можно ли из деталей этого конструктора спаять полный проволочный каркас куба 2×2×2, разбитого на кубики 1×1×1? (Каркас состоит из 27 точек, соединённых единичными отрезками; любые две соседние точки должны быть соединены ровно одним проволочным отрезком.)

В круговых автогонках участвовали четыре гонщика. Их машины стартовали одновременно из одной точки и двигались с постоянными скоростями. Известно, что после начала гонок для каждых трёх машин нашёлся момент, когда они встретились. Докажите, что после начала гонок найдётся момент, когда встретятся все четыре машины. (Гонки считаем бесконечно долгими по времени.)

Число <i>N</i>, не делящееся на 81, представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, делящихся на 3.

Докажите, что оно также представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, не делящихся на 3.

Биссектрисы углов<i> A </i>и<i> C </i>треугольника<i> ABC </i>пересекают описанную окружность этого треугольника в точках<i> A₀ </i>и<i> C₀ </i>соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника<i> ABC </i>параллельно стороне<i> AC </i>, пересекается с прямой<i> A₀C₀ </i>в точке<i> P </i>. Докажите, что прямая<i> PB </i>касается описанной окружности треугольника<i> ABC </i>.

Известно, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110215/problem_110215_img_2.gif">   и  <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + ... + <i>x</i>₆ = 0.  Докажите, что <i>x</i>₁<i>x</i>₂...<i>x</i>₆ ≤ ½.

В каждую клетку бесконечной клетчатой плоскости записано одно из чисел 1, 2, 3, 4 так, что каждое число встречается хотя бы один раз. Назовём клетку <i>правильной</i>, если количество различных чисел, записанных в четыре соседние (по стороне) с ней клетки, равно числу, записанному в эту клетку. Могут ли все клетки плоскости оказаться правильными?

У выпуклого многогранника2<i>n </i>граней (<i> n<img src="/storage/problem-media/110213/problem_110213_img_2.gif"> </i>3), и все грани являются треугольниками. Какое наибольшее число вершин, в которых сходится ровно 3 ребра, может быть у такого многогранника?

При каких натуральных <i>n</i> найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа <i>a</i> и <i>b</i>, что оба числа  <i>a + b</i>  и  <i>aⁿ + bⁿ</i>  – целые?

Через точку пересечения высот остроугольного треугольника <i> ABC </i> проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.

Докажите, что для каждого<i> x </i>такого, что<i> sin x<img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_2.gif"> </i>0, найдется такое натуральное<i> n </i>, что<i> | sin nx| <img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_3.gif"> <img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_4.gif"> </i>.

Даны  <i>n</i> > 1  приведённых квадратных трёхчленов  <i>x</i>² – <i>a</i>₁<i>x + b</i>₁,  ...,  <i>x</i>² – <i>a_nx + b_n</i>,  причём все 2<i>n</i> чисел  <i>a</i>₁, ..., <i>a_n, b</i>₁, ..., <i>b_n</i>  различны.

Может ли случиться, что каждое из чисел  <i>a</i>₁, ..., <i>a_n, b</i>₁, ..., <i>b_n</i>  является корнем одного из этих трёхчленов?

Назовём раскраску доски 8×8 в три цвета <i>хорошей</i>, если в любом уголке из пяти клеток присутствуют клетки всех трёх цветов. (Уголок из пяти клеток – это фигура, получающаяся из квадрата 3×3 вырезанием квадрата 2×2.)  Докажите, что количество хороших раскрасок не меньше чем 6⁸.

Какое минимальное количество клеток можно закрасить черным в белом квадрате 300×300, чтобы никакие три черные клетки не образовывали уголок, а после закрашивания любой белой клетки это условие нарушалось?

Докажите, что если натуральное число <i>N</i> представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, делящихся на 3, то оно также представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, не делящихся на 3.

В тетраэдре<i> ABCD </i>из вершины<i> A </i>опустили перпендикуляры<i> AB' </i>,<i> AC' </i>,<i> AD' </i>на плоскости, делящие двугранные углы при ребрах<i> CD </i>,<i> BD </i>,<i> BC </i>пополам. Докажите, что плоскость(<i>B'C'D'</i>)параллельна плоскости(<i>BCD</i>).

Биссектрисы углов <i>A</i> и <i>C</i> треугольника <i>ABC</i> пересекают его стороны в точках <i>A</i>₁ и <i>C</i>₁, а описанную окружность этого треугольника – в точках <i>A</i>₀ и <i>C</i>₀ соответственно. Прямые <i>A</i>₁<i>C</i>₁ и <i>A</i>₀<i>C</i>₀ пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что отрезок, соединяющий <i>P</i> с центром вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>, параллелен <i>AC</i>.

В гоночном турнире 12 этапов и <i>n</i> участников. После каждого этапа все участники в зависимости от занятого места <i>k</i> получают баллы <i>a_k</i> (числа <i>a_k</i> натуральны, и  <i>a</i>₁ > <i>a</i>₂ > ... > <i>a_n</i>).  При каком наименьшем <i>n</i> устроитель турнира может выбрать числа <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i> так, что после предпоследнего этапа при любом возможном распределении мест хотя бы двое участников имели шансы занять первое место.

Произведение квадратных трёхчленов  <i>x</i>² + <i>a</i>₁<i>x + b</i>₁,  <i>x</i>² + <i>a</i>₂<i>x + b</i>₂,  ...,  <i>x</i>² + <i>a_nx + b_n</i>  равно многочлену  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>^2<i>n</i> + <i>c</i>₁<i>x</i>^{2<i>n</i>–1} + <i>c</i>₂<i>x</i>^{2<i>n</i>–2} + ... + <i>c</i><sub>2<i>n</i>–1</...

Дан квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>.  Уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = 0  имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна  –1. Докажите, что  <i>b</i> ≤ – ¼.

Клетчатый квадрат 100×100 разрезан на доминошки. Двое играют в игру. Каждым ходом игрок склеивает две соседних по стороне клетки, между которыми был проведён разрез. Игрок проигрывает, если после его хода фигура получилась связной, то есть весь квадрат можно поднять со стола, держа его за одну клетку. Кто выиграет при правильной игре – начинающий или его соперник?

На сторонах <i>AB, BC, CA</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>P, Q, R</i> соответственно таким образом, что  <i>AP = CQ</i>  и четырёхугольник <i>RPBQ</i>– вписанный. Касательные к описанной окружности треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i> и <i>C</i> пересекают прямые <i>RP</i> и <i>RQ</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что  <i>RX = RY</i>.

Пусть <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₀ – натуральные числа,  <i>a</i>₁ < <i>a</i>₂ < ... < <i>a</i>₁₀.  Пусть <i>b_k</i> – наибольший делитель <i>a_k</i>, меньший <i>a_k</i>. Оказалось, что <i>b</i>₁ > <i>b</i>₂ > ... > <i>b</i>₁₀.

Докажите, что  <i>a</i>₁₀ > 500.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника <i>ABC</i> в точке <i>A</i>, пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>K</i>, а также пересекает сторону <i>BC</i>. Касательная <i>CL</i> к окружности ω такова, что отрезок <i>KL</i> пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>T</i>. Докажите, что отрезок <i>BT</i> равен по длине касательной, проведённой из точки <i>B</i> к ω.