Олимпиадная задача по алгебраическим неравенствам для 8-10 классов от Храброва А.

  Если среди чисел x₁, x₂, x₆ нечётное число отрицательных или есть ноль, то неравенство очевидно.

  Пусть отрицательных чисел два или четыре. Меняя, если нужно, знаки у всех чисел, можно добиться того, что ровно два числа будут отрицательными (пусть это x₁ и x₂). Положим  y_k = |x_k|.  Тогда     и  y₁ + y₂ = y₃ + y₄ + y₅ + y₆.  Обозначим последнюю сумму через s . Тогда     Значит,     С другой стороны,     и     что следует из неравенства между средним арифметическим и средним квадратичным. Таким образом,  

  Стало быть,  s² ≤ 8  и  x₁x₂...x₆ = y₁y₂...y₆ ≤ s⁶·4^–5 ≤ 8³·4^–5 = ½.

Ответ задачи отсутствует