Олимпиадная задача по планиметрии: треугольник ABC и окружности

Задача

Дан треугольник ABC. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника ABC в точке A, пересекает сторону AB в точке K, а также пересекает сторону BC. Касательная CL к окружности ω такова, что отрезок KL пересекает сторону BC в точке T. Докажите, что отрезок BT равен по длине касательной, проведённой из точки B к ω.

Решение

Пусть M– вторая точка пересечения ω со стороной AC. При гомотетии с центром A, переводящей окружность ω в Ω, прямая MK переходит в прямую CB, а следовательно, они параллельны (см. рис.)

Значит, AMK= ∠ACB= ∠ACT. Из вписанности четырёхугольникаAMLKимеем ∠AMK= ∠ALK= ∠ALT. Отсюда ∠ACT= ∠ALT, то естьATLC– вписанный четырёхугольник. Следовательно, ∠CTA= ∠CLA= ∠LKA, и значит, ∠BTA= ∠BKT. Поэтому треугольникиBTAиBKTподобны по двум углам, откуда BT² =BK·BA. C другой стороны, произведениеBK·BAравно квадрату касательной, проведённой к ω из точкиB.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Олимпиадная задача по планиметрии для 9-11 классов: треугольник ABC и касательные окружности

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления