Олимпиадные задачи по математике
У Пети и Коли в тетрадях записаны по два числа; изначально – это числа 1 и 2 у Пети, 3 и 4 – у Коли. Раз в минуту Петя составляет квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>), корнями которого являются записанные в его тетради два числа, а Коля – квадратный трёхчлен <i>g</i>(<i>x</i>), корнями которого являются записанные в его тетради два числа. Если уравнение <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>x</i>) имеет два различных корня, то один из мальчиков заменяет свою пару чисел на эти корни; иначе ничего не происходит. Какое второе число могло оказаться у Пети в тетради в тот момент, когда первое стало равным 5?
У выпуклого многогранника2<i>n </i>граней (<i> n<img src="/storage/problem-media/110213/problem_110213_img_2.gif"> </i>3), и все грани являются треугольниками. Какое наибольшее число вершин, в которых сходится ровно 3 ребра, может быть у такого многогранника?
Известно, что многочлен (<i>x</i> + 1)<sup><i>n</i></sup> – 1 делится на некоторый многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x<sup>k</sup> + c</i><sub><i>k</i>–1</sub><i>x</i><sup><i>k</i>–1</sup> + <i>c</i><sub><i>k</i>–2</sub><i>x</i><sup><i>k</i>–2</sup> + ... + <i>c</i><sub>1</sub><i>x + c</i><sub>0</sub> чётной степени <i>k</i>, у которого все коэффициенты – целые нечётные числа. Докажите, что <i>n</i> делится на <i>k</i> + 1.