Олимпиадная задача по математике для 8–10 классов: рациональные числа и делимость

  Если n нечётно, то положим  a = ½,  b = ½ (2ⁿ – 1) . Тогда  a + b = 2^n–1,  а  aⁿ + bⁿ = (a + b)(a^n–1 – a^n–2b + ... + b^n–1).  Знаменатель дроби в скобках равен 2^n–1, поэтому число  aⁿ + bⁿ  также целое.

  Пусть n чётно. Предположим, что требуемые числа a, b нашлись. Так как их сумма целая, то знаменатели в их несократимой записи равны, то есть их несократимая запись такова:  a = ^p/_d,  b = ^q/_d;  при этом  p + q  кратно d.

  Поскольку число     целое, то  pⁿ + qⁿ  делится на d. Но  pⁿ + qⁿ = (pⁿ – qⁿ) + 2qⁿ,  причём  pⁿ – qⁿ  делится на кратное d число

p² – q² = (p + q)(p – q).  Значит, 2qⁿ делится на d. Поскольку дробь  ^q/_d  несократима, то 2 делится на d, то есть  d = 2.  Но тогда pⁿ и qⁿ – квадраты нечётных чисел, следовательно, дают остаток 1 при делении на 4. Поэтому  pⁿ + qⁿ  не делится на 4 и, тем более, на 2ⁿ. Противоречие.

При всех нечётных n.