Олимпиадные задачи из источника «15 турнир (1993/1994 год)» - сложность 2 с решениями

Треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность. Точка <i>A</i>₁ диаметрально противоположна точке <i>A</i>, точка <i>A</i>₀ – середина стороны <i>BC</i>, точка <i>A</i>₂ симметрична точке <i>A</i>₁ относительно точки <i>A</i>₀. Точки <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ определяются аналогично. Докажите, что точки <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ совпадают.

Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников.

Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.

Дан невыпуклый несамопересекающийся четырёхугольник, который имеет три внутренних угла по 45°.

Докажите, что середины его сторон лежат в вершинах квадрата.

<i>D</i>– точка на стороне<i>BC</i>треугольника<i>ABC</i>. B треугольники<i>ABD, ACD</i>вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от<i>BC</i>), пересекающая<i>AD</i>в точке<i>K</i>. Докажите, что длина отрезка<i>AK</i>не зависит от положения точки<i>D</i>на<i>BC</i>.

{<i>a_n</i>} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за <i>x</i> идёт  1 – |1 – 2<i>x</i>|.

  а) Докажите, что если <i>a</i>₁ рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая.

  б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то <i>a</i>₁ рационально.

Существует ли бесконечное число таких троек целых чисел <i>x, y, z</i>, что   <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³?

10 фишек стоят на столе по кругу. Сверху фишки красные, снизу – синие. Разрешены две операции:

  а) перевернуть четыре фишки, стоящие подряд;

&nbsp б) перевернуть четыре фишки, расположенные так:  ××0××  (× – фишка, входящая в четвёрку, 0 – не входящая).

Удастся ли, используя несколько раз разрешённые операции, перевернуть все фишки синей стороной вверх?

Имеется шоколадка с пятью продольными и восемью поперечными углублениями, по которым её можно ломать (всего получается  9·6 = 54  дольки). Играют двое, ходят по очереди. Играющий за свой ход отламывает от шоколадки полоску ширины 1 и съедает её. Другой играющий за свой ход делает то же самое с оставшейся частью, и т. д. Тот, кто разламывает полоску ширины 2 на две полоски ширины 1, съедает одну из них, а другую съедает его партнер. Докажите, что начинающий игру может действовать таким образом, что ему достанется по крайней мере на 6 долек больше, чем второму.

Последовательность натуральных чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>, ...  такова, что для каждого <i>n</i> уравнение  <i>a</i>_<i>n</i>+2<i>x</i>² + <i>a</i>_<i>n</i>+1<i>x</i> + <i>a_n</i> = 0  имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть

  а) равным 10;

  б) бесконечным?

В таблице

    0 1 2 3 ... 9

    9 0 1 2 ... 8

    8 9 0 1 ... 7

        ...

    1 2 3 4 ... 0

отмечено 10 элементов так, что в каждой строке и каждом столбце отмечен один элемент.

Докажите, что среди отмеченных элементов есть хотя бы два равных.

Каждый из 450 депутатов парламента дал пощёчину ровно одному своему коллеге.

Докажите, что можно избрать парламентскую комиссию из 150 человек, среди членов которой никто никого не бил.

Ученик не заметил знака умножения между двумя трёхзначными числами и написал одно шестизначное число. Результат получился в три раза больше.

Найти эти числа.

На кружок пришло 60 учеников. Оказалось, что среди каждых десяти из них есть не меньше трёх одноклассников.

Докажите, что среди кружковцев найдётся по меньшей мере 15 учеников, которые учатся в одном классе.

Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с единицы, до некоторого <i>n</i> включительно:   12345678910111213...(<i>n</i>). Существует ли такое <i>n</i>, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое количество раз?

Петя хочет изготовить необычную игральную кость, которая, как обычно, должна иметь форму куба, на гранях которого нарисованы точки (на разных гранях разное число точек), но при этом на каждых двух соседних гранях число точек должно различаться по крайней мере на два (при этом разрешается, чтобы на некоторых гранях оказалось больше шести точек). Сколько всего точек необходимо для этого нарисовать?

Числа 1, 2, 3, ..., 25 расставляют в таблицу  5&times5  так, чтобы в каждой строке числа были расположены в порядке возрастания.

Какое наибольшее и какое наименьшее значение может иметь сумма чисел в третьем столбце?

На гипотенузе <i>AB</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> взяты такие точки <i>M</i> и <i>N</i>, что  <i>BC = BM</i>  и  <i>AC = AN</i>.  Докажите, что  ∠<i>MCN</i> = 45°.

Конечно или бесконечно число натуральных решений уравнения  <i>x</i>² + <i>y</i>³ = <i>z</i>²?

В каждой клетке квадрата  8×8  клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из нескольких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Может ли количество этих частей быть

  а) больше 15?

  б) больше 20?

В строчку выписано 10 целых чисел. Вторая строчка находится так: под каждым числом <i>A</i> первой строчки пишется число, равное количеству чисел первой строчки, которые больше <i>A</i> и при этом стоят правее <i>A</i>. По второй строчке аналогично строится третья строчка и т. д.

  а) Докажите, что все строчки, начиная с некоторой – нулевые (состоят из сплошных нулей).

  б) Каково максимально возможное число ненулевых строчек (содержащих хотя бы одно число, отличное от нуля)?

Три шахматиста <i>A, B</i> и <i>C</i> сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков <i>A</i> занял первое место, <i>C</i> – последнее, а по числу побед, наоборот, <i>A</i> занял последнее место, <i>C</i> – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?

Первоначально на доске написано натуральное число <i>A</i>. Разрешается прибавить к нему один из его делителей, отличных от него самого и единицы. С полученным числом разрешается проделать аналогичную операцию, и т. д. Докажите, что из числа  <i>A</i> = 4  можно с помощью таких операций прийти к любому наперёд заданному составному числу.

В угол с вершиной <i>A</i> вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках <i>B</i> и <i>C</i>. В области, ограниченной отрезками <i>AB, AC</i> и меньшей дугой <i>BC</i>, расположен отрезок. Докажите, что его длина не превышает <i>AB</i>.

Вершины <i>A, B, C</i> треугольника соединены с точками <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, лежащими на противоположных сторонах (не в вершинах).

Могут ли середины отрезков <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ лежать на одной прямой?