Олимпиадная задача по принципу Дирихле и доказательству от противного для 8–10 классов
Задача
На кружок пришло 60 учеников. Оказалось, что среди каждых десяти из них есть не меньше трёх одноклассников.
Докажите, что среди кружковцев найдётся по меньшей мере 15 учеников, которые учатся в одном классе.
Решение
Предположим противное: из каждого класса пришло не больше 14 учеников. Пусть из m классов пришло по одному ученику, а из n – от 2 до 14. Тогда
m + 2n ≤ 9 (иначе, взяв из m классов по одному ученику, а из остальных – по два, получим противоречие с условием).
Значит, всего учеников не больше m + 14n = (m + 2n) + 6·2n ≤ 9 + 6·8 = 57 < 60. Противоречие.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет