Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс»
весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
НазадТреугольник <i>ABC</i> вписан в окружность. Точка <i>A</i><sub>1</sub> диаметрально противоположна точке <i>A</i>, точка <i>A</i><sub>0</sub> – середина стороны <i>BC</i>, точка <i>A</i><sub>2</sub> симметрична точке <i>A</i><sub>1</sub> относительно точки <i>A</i><sub>0</sub>. Точки <i>B</i><sub>2</sub> и <i>C</i><sub>2</sub> определяются аналогично. Докажите, что точки <i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>2</sub> и <i>C</i><sub>2</sub> совпадают.
10 фишек стоят на столе по кругу. Сверху фишки красные, снизу – синие. Разрешены две операции:
а) перевернуть четыре фишки, стоящие подряд;
  б) перевернуть четыре фишки, расположенные так: ××0×× (× – фишка, входящая в четвёрку, 0 – не входящая).
Удастся ли, используя несколько раз разрешённые операции, перевернуть все фишки синей стороной вверх?
Имеется шоколадка с пятью продольными и восемью поперечными углублениями, по которым её можно ломать (всего получается 9·6 = 54 дольки). Играют двое, ходят по очереди. Играющий за свой ход отламывает от шоколадки полоску ширины 1 и съедает её. Другой играющий за свой ход делает то же самое с оставшейся частью, и т. д. Тот, кто разламывает полоску ширины 2 на две полоски ширины 1, съедает одну из них, а другую съедает его партнер. Докажите, что начинающий игру может действовать таким образом, что ему достанется по крайней мере на 6 долек больше, чем второму.
Последовательность натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, ... такова, что для каждого <i>n</i> уравнение <i>a</i><sub><i>n</i>+2</sub><i>x</i>² + <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub><i>x</i> + <i>a<sub>n</sub></i> = 0 имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть
а) равным 10;
б) бесконечным?