Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс»

Петя хочет изготовить необычную игральную кость, которая, как обычно, должна иметь форму куба, на гранях которого нарисованы точки (на разных гранях разное число точек), но при этом на каждых двух соседних гранях число точек должно различаться по крайней мере на два (при этом разрешается, чтобы на некоторых гранях оказалось больше шести точек). Сколько всего точек необходимо для этого нарисовать?

Числа 1, 2, 3, ..., 25 расставляют в таблицу  5&times5  так, чтобы в каждой строке числа были расположены в порядке возрастания.

Какое наибольшее и какое наименьшее значение может иметь сумма чисел в третьем столбце?

На гипотенузе <i>AB</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> взяты такие точки <i>M</i> и <i>N</i>, что  <i>BC = BM</i>  и  <i>AC = AN</i>.  Докажите, что  ∠<i>MCN</i> = 45°.

Конечно или бесконечно число натуральных решений уравнения  <i>x</i>² + <i>y</i>³ = <i>z</i>²?