Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс»
весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
НазадИз точки <i>O</i>, лежащей внутри выпуклого <i>n</i>-угольника <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i>, проведены отрезки ко всем вершинам: <i>OA</i><sub>1</sub>, <i>OA</i><sub>2</sub>, ..., <i> OA<sub>n</sub> </i>. Оказалось, что все углы между этими отрезками и прилегающими к ним сторонами <i>n</i>-угольника – острые, причём ∠<i>OA</i><sub>1</sub><i>A<sub>n</sub></i> ≤ ∠<i>OA</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, ∠<i>OA</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>1&...
10 фишек стоят на столе по кругу. Сверху фишки красные, снизу – синие. Разрешены две операции:
а) перевернуть четыре фишки, стоящие подряд;
  б) перевернуть четыре фишки, расположенные так: ××0×× (× – фишка, входящая в четвёрку, 0 – не входящая).
Удастся ли, используя несколько раз разрешённые операции, перевернуть все фишки синей стороной вверх?
На кружок пришло 60 учеников. Оказалось, что среди каждых десяти из них есть не меньше трёх одноклассников.
Докажите, что среди кружковцев найдётся по меньшей мере 15 учеников, которые учатся в одном классе.
Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.