Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс»

Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников.

Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.

Известно, что уравнение  <i>x</i>⁴ + <i>ax</i>³ + 2<i>x</i>² + <i>bx</i> + 1 = 0  имеет действительный корень. Докажите неравенство  <i>a</i>² + <i>b</i>² ≥ 8.

В вершинах квадрата сидят четыре кузнечика. Они прыгают в произвольном порядке, но не одновременно. Каждый кузнечик прыгает в такую точку, которая симметрична точке, в которой он находился до прыжка, относительно центра тяжести трёх других кузнечиков. Может ли в какой-то момент один кузнечик приземлиться на другого? (Кузнечики точечные.)

Выпуклый 1993-угольник разрезан на выпуклые семиугольники.

Докажите, что найдутся четыре соседние вершины 1993-угольника, принадлежащие одному семиугольнику.

(Вершина семиугольника не может лежать внутри стороны 1993-угольника.)

Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с единицы, до некоторого <i>n</i> включительно:   12345678910111213...(<i>n</i>). Существует ли такое <i>n</i>, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое количество раз?

В угол с вершиной <i>A</i> вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках <i>B</i> и <i>C</i>. В области, ограниченной отрезками <i>AB, AC</i> и меньшей дугой <i>BC</i>, расположен отрезок. Докажите, что его длина не превышает <i>AB</i>.