Олимпиадные задачи из источника «14 турнир (1992/1993 год)» для 8 класса - сложность 2-3 с решениями

Окружность с центром <i>D</i> проходит через вершины <i>A, B</i> и центр <i>O</i> вневписанной окружности треугольника <i>ABC </i>, касающейся его стороны <i>BC</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>AC</i>. Докажите, что точки <i>A, B, C</i> и <i>D</i> лежат на одной окружности.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписанный, <i>M</i> – точка пересечения прямых <i>AB</i> и <i>CD, N</i> – точка пересечения прямых <i>BC</i> и <i>AD</i>. Известно, что  <i>BM = DN</i>.

Докажите, что  <i>CM = CN</i>.

Сторона <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> равна <i>c</i>. На стороне <i>AB</i> взята такая точка <i>M</i>, что  ∠<i>CMA</i> = φ.

Найдите расстояние между ортоцентрами треугольников <i>AMC</i> и <i>BMC</i>.

Биссектриса угла <i>A</i> треугольника <i>ABC</i> пересекает описанную окружность в точке <i>D</i>. Пусть <i>P</i> – точка, симметричная центру вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> относительно середины стороны <i>BC, M</i> – вторая точка пересечения прямой <i>DP</i> с описанной окружностью. Докажите, что расстояние от точки <i>M</i> до одной из вершин <i>A, B, C</i> равно сумме расстояний от <i>M</i> до двух других вершин.

а) В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> больше угла <i>B</i>. Докажите, что <i>BC</i> > ½ <i>AB</i>.

б) В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> угол <i>A</i> больше угла <i>C</i>, а угол <i>D</i> больше угла <i>B</i>. Докажите, что <i>BC</i> > ½ <i>AD</i>.

На каждой стороне параллелограмма выбрано по точке (выбранные точки отличны от вершин параллелограмма). Точки, лежащие на соседних (имеющих общую вершину) сторонах, соединены отрезками. Докажите, что центры описанных окружностей четырёх получившихся треугольников – вершины параллелограмма.

Единичный квадрат разбит на конечное число квадратиков (размеры которых могут различаться). Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающихся с главной диагональю, быть больше 1993? (Если квадратик пересекается с диагональю по одной точке, это тоже считается пересечением.)

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> внешним образом построен квадрат с центром <i>O</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i>   середины сторон <i>AC</i> и <i>BC</i> соответственно, а длины этих сторон равны соответственно <i>a</i> и <i>b</i>. Найти максимум суммы  <i>OM + ON</i>,  когда угол <i>ACB</i> меняется.

Бумажный треугольник с углами 20°, 20°, 140° разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному?

На доску последовательно записываются натуральные числа. На <i>n</i>-м шаге (когда написаны числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>_<i>n</i>–1)  пишется любое число, которое нельзя представить в виде суммы  <i>a</i>₁<i>k</i>₁ + <i>a</i>₂<i>k</i>₂ + ... + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>k</i>_<i>n</i>–1,  где <i>k_i</i> – целые неотрицательные числа (на <i>a</i>₁ никаких огран...

Несколько человек делят наследство. Наследник считается бедным, если ему досталось меньше 99 рублей, богатым, – если ему досталось больше 10000 рублей. Величина наследства и число людей таковы, что при любом способе дележа у богатых окажется не меньше денег, чем у бедных. Докажите, что при любом способе дележа у богатых не меньше чем в 100 раз больше денег, чем у бедных.

Рассматривается числовой треугольник: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/98176/problem_98176_img_2.gif"></div>(первая строчка задана, а каждый элемент остальных строчек вычисляется как разность двух элементов, которые стоят над ним). В 1993-й строчке – один элемент. Найдите его.

Найти все такие числа вида 2^<i>n</i> (<i>n</i> натурально), что при вычёркивании первой цифры их десятичной записи снова получится степень двойки.

На отрезке  [<i>a, b</i>]  отмечено несколько синих и красных точек. Две точки одного цвета, между которыми нет отмеченных точек, разрешается стереть. Разрешается также отметить две точки одного цвета, красные или синие, так, чтобы между ними не было других отмеченных точек. Первоначально было отмечено две точки: <i>a</i> – синяя и <i>b</i> – красная. Можно ли сделать несколько разрешенных пребразований так, чтобы в результате было опять две отмеченные точки: <i>a</i> – красная и <i>b</i> – синяя?

Петя заметил, что у всех его 25 одноклассников различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети?

Задано правило, которое каждой паре чисел <i>x</i>, <i>y</i> ставит в соответствие некоторое число <i>x*y</i>, причём для любых <i>x, y, z</i> выполняются тождества:

  1)  <i>x</i>*<i>x</i> = 0,

  2)  <i>x</i>(<i>y</i><i>z</i>) = (<i>x</i>*<i>y</i>) + <i>z</i>.

Найдите 1993*1932.

Мудрецу С. сообщили сумму трёх натуральных чисел, а мудрецу П. – их произведение.

– Если бы я знал, – сказал С., – что твоё число больше, чем моё, я бы сразу назвал три искомых числа.

– Мое число меньше, чем твоё, – ответил П., – а искомые числа ..., ... и ... .

Какие числа назвал П.?

Муравей ползает по проволочному каркасу куба, при этом он никогда не поворачивает назад.

Может ли случиться, что в одной вершине он побывал 25 раз, а в каждой из остальных – по 20 раз?

<i>a, b, c</i> – натуральные числа,  НОД(<i>a, b, c</i>) = 1  и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98165/problem_98165_img_2.gif">   Докажите, что  <i>a – b</i>  – точный квадрат.

Имеется два дома, в каждом по два подъезда. Жильцы держат кошек и собак, причём доля кошек (отношение числа кошек к общему числу кошек и собак) в первом подъезде первого дома больше доли кошек в первом подъезде второго дома, а доля кошек во втором подъезде первого дома больше доли кошек во втором подъезде второго дома. Верно ли, что доля кошек в первом доме больше доли кошек во втором доме?

В таблице <i>m</i> строк, <i>n</i> столбцов. <i>Горизонтальным ходом</i> называется такая перестановка элементов таблицы, при которой каждый элемент остаётся в той строке, в которой он был и до перестановки; аналогично определяется <i>вертикальный ход</i> ("строка" в предыдущем определении заменяется на "столбец"). Укажите такое <i>k</i>, что за <i>k</i> ходов (любых) можно получить любую перестановку элементов таблицы, но существует такая перестановка, которую нельзя получить за меньшее число ходов.

Докажите, что существует такой набор из 100 различных натуральных чисел <i>c</i>₁, <i>c</i>₂, ..., <i>c</i>₁₀₀, что для любых двух соседних чисел <i>c_i</i> и <i>c</i>_<i>i</i>+1 этого набора сумма   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98157/problem_98157_img_2.gif">   есть квадрат целого числа.

Рассматривается последовательность квадратов на плоскости. Первые два квадрата со стороной 1 расположены рядом (второй правее) и имеют одну общую вертикальную сторону. Нижняя сторона третьего квадрата со стороной 2 содержит верхние стороны первых двух квадратов. Правая сторона четвёртого квадрата со стороной 3 содержит левые стороны первого и третьего квадратов. Верхняя сторона пятого квадрата со стороной 5 содержит нижние стороны первого, второго и четвертого квадратов. Далее двигаемся по спирали бесконечно, обходя рассмотренные квадраты против часовой стрелки так, что сторона нового квадрата составлена из сторон трёх ранее рассмотренных. Докажите, что центры всех этих квадратов принадлежат двум прямым.  

Дан куб с ребром длины <i>n</i> см. В нашем распоряжении имеется длинный кусок изоляционной ленты шириной 1 см. Требуется обклеить куб лентой, при этом лента может свободно переходить через ребро на другую грань, по грани она должна идти по прямой параллельно ребру и не свисать с грани вбок. На сколько кусков необходимо разрезать ленту, чтобы обклеить куб?

Числовая последовательность определяется условиями:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98152/problem_98152_img_2.gif">  

Докажите, что среди членов этой последовательности бесконечно много полных квадратов.