Олимпиадная задача: Числа 2ⁿ с особым свойством в системах счисления (8-10 класс)
Задача
Найти все такие числа вида 2n (n натурально), что при вычёркивании первой цифры их десятичной записи снова получится степень двойки.
Решение
Отношение двух степеней двоек из условия меньше 100. С другой стороны, их разность имеет вид 2m(2n − 1). Значит, n ≤ 6. Эта разность делится на 10, поэтому 2n − 1 кратно 5. Отсюда n = 4, 2n − 1 = 15. По условию, 15·2m = a·10k, где a ≤ 9. Ясно, что k = 1, тогда 3·2m–1 ≤ 9. Итак, m = 1 или 2.
Ответ
32, 64.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет