Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов от Шарыгина: Расстояние между ортоцентрами в треугольнике

  Пусть D_a и D_b – проекции ортоцентров H_a и H_b треугольников AMC и BMC на прямую CM (см. рис.).   Точки H_a и H_b лежат лежат на перпендикуляре, опущенном из C на прямую AB. Отрезок D_aD_b – проекция отрезка AB на прямую CM, а так как угол между прямыми AB и CM равен φ или  180° – φ,&nbsp то  D_aD_b = AB |cos φ| = c |cos φ|.

  С другой стороны, отрезок D_aD_b – проекция отрезка H_aH_b на прямую CM, а так как угол между прямыми H_aH_b и CM равен  90° – φ  или  90° + φ,  то  

c |ctg φ|.