Олимпиадная задача по планиметрии 8–9 класс: параллелограмм, Кулагин

Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 классов от Кулагина Д. Е.

Задача

На каждой стороне параллелограмма выбрано по точке (выбранные точки отличны от вершин параллелограмма). Точки, лежащие на соседних (имеющих общую вершину) сторонах, соединены отрезками. Докажите, что центры описанных окружностей четырёх получившихся треугольников – вершины параллелограмма.

Решение

Пусть точки M, N, P и Q лежат на сторонах соответственно AB, BC, CD и AD параллелограмма ABCD, OA, OB, OC, OD – центры описанных окружностей треугольников AMQ, BMN, CNP, DPQ. Серединный перпендикуляр к отрезку XY будем обозначать через l_XY. Пусть L – точка пересечения прямых l_AQ и l_MB, T – точка пересечения прямых l_DQ и l_CP. При параллельном переносе на вектор прямая l_AQ переходит в параллельную ей прямую, проходящую через точку T, то есть в прямую l_DQ, а прямая l_MB – в прямую l_CP. Расстояние между параллельными прямыми l_AM и l_BM равно расстоянию между прямыми l_CP и l_DP (каждое из этих расстояний равно половине стороны AB). Значит, при рассматриваемом параллельном переносе прямая l_AM переходит в прямую l_PD. Аналогично при этом же переносе прямая l_BN переходит в прямую l_CN. Из доказанного следует, что параллелограмм, образованный пересечением прямых l_AM, l_BM, l_AQ и l_BN переходит в параллелограмм, образованный пересечением прямых l_DP, l_CP, l_DQ и l_CN. Поэтому диагональ O_AO_B первого из этих параллелограммов переходит в соответствующую диагональ O_DO_C второго. Следовательно, четырёхугольник O_AO_BO_CO_D – параллелограмм.