Олимпиадная задача по стереометрии: Муравей на каркасе куба, теория чисел, 6–8 класс
Задача
Муравей ползает по проволочному каркасу куба, при этом он никогда не поворачивает назад.
Может ли случиться, что в одной вершине он побывал 25 раз, а в каждой из остальных – по 20 раз?
Решение
Пометим вершины куба числами 1 и –1 в "шахматном" порядке. Предположим, что муравей так прополз по каркасу куба, что в одной вершине он побывал 25 раз, а в остальных – по 20 раз. Вычислим сумму чисел, пройденных муравьём (каждое число входит в эту сумму несколько раз). С одной стороны, она по модулю не превосходит 1, с другой стороны, она должна быть равна ±5. Противоречие.
Ответ
Не может.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет