Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс»

а) В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> больше угла <i>B</i>. Докажите, что <i>BC</i> > ½ <i>AB</i>.

б) В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> угол <i>A</i> больше угла <i>C</i>, а угол <i>D</i> больше угла <i>B</i>. Докажите, что <i>BC</i> > ½ <i>AD</i>.

На каждой стороне параллелограмма выбрано по точке (выбранные точки отличны от вершин параллелограмма). Точки, лежащие на соседних (имеющих общую вершину) сторонах, соединены отрезками. Докажите, что центры описанных окружностей четырёх получившихся треугольников – вершины параллелограмма.

Дано натуральное число <i>M</i>. Докажите, что существует число, кратное <i>M</i>, сумма цифр которого (в десятичной записи) нечётна.

В банде 101 террорист. Все вместе они в вылазках ни разу не участвовали, а каждые двое встречались в вылазках ровно по разу.

Докажите, что один из террористов участвовал не менее чем в 11 различных вылазках.