Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 8-9 класс»

Числовая последовательность определяется условиями:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98152/problem_98152_img_2.gif">  

Докажите, что среди членов этой последовательности бесконечно много полных квадратов.

Дан угол с вершиной <i>O</i> и внутри него точка <i>A</i>. Рассмотрим такие точки <i>M, N</i> на разных сторонах данного угла, что углы <i>MAO</i> и <i>OAN</i> равны.

Докажите, что все прямые <i>MN</i> проходят через одну точку (или параллельны).

В четырёхугольнике <i>ABCD</i>  <i>AB = BC = CD</i> = 1,  <i>AD</i> не равно 1. Положение точек <i>B</i> и <i>C</i> фиксировано, точки же <i>A</i> и <i>D</i> подвергаются преобразованиям, сохраняющим длины отрезков <i>AB, CD</i> и <i>AD</i>. Новое положение точки <i>A</i> получается из старого зеркальным отражением в отрезке <i>BD</i>, новое положение точки <i>D</i> получается из старого зеркальным отражением в отрезке <i>AC</i> (где <i>A</i> уже новое), затем на втором шагу опять <i>A</i> отражается относительно <i>BD</i> (<i>D</i> уже новое), затем снова преобразуется <i>D</i&gt...

Можно ли подобрать два многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами так, что  <i>P – Q</i>,  <i>P</i> и  <i>P + Q</i>  – квадраты некоторых многочленов (причём <i>Q</i> не получается умножением <i>P</i> на число)?

В квадрат вписано 1993 различных правильных треугольника (треугольник вписан, если три его вершины лежат на сторонах квадрата).

Докажите, что внутри квадрата можно указать точку, лежащую на границе не менее чем 499 из этих треугольников.

В таблице  <i>n×n</i>  разрешается добавить ко всем числам любого несамопересекающегося замкнутого маршрута ладьи по 1. В первоначальной таблице по диагонали стояли единицы, а остальные были нули. Можно ли с помощью нескольких разрешённых преобразований добиться того, что все числа в таблице станут равны? (Считается, что ладья побывала во всех клетках таблицы, через которые проходит её путь.)