Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс»

Сторона <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> равна <i>c</i>. На стороне <i>AB</i> взята такая точка <i>M</i>, что  ∠<i>CMA</i> = φ.

Найдите расстояние между ортоцентрами треугольников <i>AMC</i> и <i>BMC</i>.

Муравей ползает по проволочному каркасу куба, при этом он никогда не поворачивает назад.

Может ли случиться, что в одной вершине он побывал 25 раз, а в каждой из остальных – по 20 раз?

<i>a, b, c</i> – натуральные числа,  НОД(<i>a, b, c</i>) = 1  и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98165/problem_98165_img_2.gif">   Докажите, что  <i>a – b</i>  – точный квадрат.

Имеется два дома, в каждом по два подъезда. Жильцы держат кошек и собак, причём доля кошек (отношение числа кошек к общему числу кошек и собак) в первом подъезде первого дома больше доли кошек в первом подъезде второго дома, а доля кошек во втором подъезде первого дома больше доли кошек во втором подъезде второго дома. Верно ли, что доля кошек в первом доме больше доли кошек во втором доме?