Олимпиадная задача по стереометрии: изоляционная лента и куб. 7-10 класс
Задача
Дан куб с ребром длины n см. В нашем распоряжении имеется длинный кусок изоляционной ленты шириной 1 см. Требуется обклеить куб лентой, при этом лента может свободно переходить через ребро на другую грань, по грани она должна идти по прямой параллельно ребру и не свисать с грани вбок. На сколько кусков необходимо разрезать ленту, чтобы обклеить куб?
Решение
2n кусков достаточно: обклеиваем четыре грани куба, образующие боковую поверхность прямоугольной призмы, n рядами ленты, каждый ряд ширины 1, а затем аналогично обклеиваем другую четвёрку граней (из них две грани уже один раз обклеены, а две другие заклеиваем в первый раз).
Докажем, что меньшим числом кусков обойтись нельзя. Рассмотрим две грани, имеющие общее ребро, и разобьём их на n полосок 1×2n, перпендикулярных общему ребру этих граней. Если имеются куски ленты, идущие вдоль этих полосок и закрывающие всю их ширину (может быть, и не всю длину), то таких кусков не менее n. Тогда остаются ещё две грани, полностью свободные от этих кусков. Чтобы заклеить одну из них, необходимо затратить ещё по крайней мере n кусков, так как каждый кусок заклеивает не более 1/n площади этой грани. Если же есть полоска, по всей длине свободная от кусков, идущих вдоль неё, то для того, чтобы закрыть эту полоску кусками, идущими поперёк этой полоски, нужно по крайней мере 2n кусков ленты.
Ответ
На 2n кусков.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь