Олимпиадная задача по теории чисел: докажите, что a – b — точный квадрат

Решение 1:  Пустьp– простой делитель числа  a – b.  Тогдаpявляется делителемaилиb, так как  c – b  – натуральное число. Но  a = b+ (a – b),  поэтомуpделит иaиb. Значит,cне делится наp.   Пусть в разложение числаaна простые множителиpвходит в степениk, а в разложениеb– в степениl(k, l– натуральные числа). Если,  k > l,  то разложение a – b  содержитp^l, а разложениеc–  p^k+l–l = p^k.  Противоречие.   Случайk < lрассматривается аналогично. Следовательно,  k = l  иpвходит в разложение  a – b  в той же степени, что и в  ab,  то есть в степени 2k.   Итак, каждый простой делитель числа  a – b  входит в разложение  a – b  на простые множители в чётной степени, откуда и следует, что  a – b  – точный квадрат  (a – b> 0,  так как  c> 0).

Решение 2:   Пусть  НОД(a, b) = d,  a = dx,  b = dy.  Поскольку  ab = ac – bc,  то dxy = cx – cy.  Значит, cy делится на x. Так как x и y взаимно просты, c делится на x. Аналогично c делится на y.

  Следовательно, c делится на xy, т.е.  c = xyk.  По условию d и c взаимно просты, тем более d и k взаимно просты. Но  d = k(x – y),  значит,  k = 1,

a – b = dx – dy = d².

Ответ задачи отсутствует