Олимпиадные задачи из источника «X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)» для 9-10 класса - сложность 3 с решениями
X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)
НазадОкружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> касаются друг друга внешним образом в точке <i>P</i>. Из точки <i>A</i> окружности ω<sub>2</sub>, не лежащей на линии центров окружностей, проведены касательные <i>AB, AC</i> к ω<sub>1</sub>. Прямые <i>BP, CP</i> вторично пересекают ω<sub>2</sub> в точках <i>E</i> и <i>F</i>. Докажите, что прямая <i>EF</i>, касательная к ω<sub>2</sub> в точке <i>A</i>, и общая касательная к окружностям в точке <i>P</i> пересекаются в одной точке.
Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой <i>AC</i>, проведена биссектриса треугольника <i>BD</i>; отмечены середины <i>E</i> и <i>F</i> дуг <i>BD</i> окружностей, описанных около треугольников <i>ADB</i> и <i>CDB</i> соответственно (сами окружности не проведены). Постройте одной линейкой центры окружностей.
Из некоторой точки <i>D</i> в плоскости треугольника <i>ABC</i> провели прямые, перпендикулярные к отрезкам <i>DA, DB, DC</i>, которые пересекают прямые <i>BC, AC, AB</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> соответственно. Докажите, что середины отрезков <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub>, <i>CC</i><sub>1</sub> лежат на одной прямой.
В неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> высота из вершины <i>A</i>, биссектриса из вершины <i>B</i> и медиана из вершины <i>C </i>пересекаются в одной точке <i>K</i>.
а) Какая из сторон треугольника средняя по величине?
б) Какой из отрезков <i>AK, BK, CK</i> средний по величине?
Постройте такое подмножество круга, площадью в половину площади круга, что его образ при симметрии относительно любого диаметра пересекается с ним по площади, равной четверти круга.
На окружности ω c центром <i>O</i> фиксированы точки <i>A</i> и <i>C</i>. Точка <i>B</i> движется по дуге <i>AC</i>. Точка <i>P</i> – фиксированная точка хорды <i>AC</i>. Прямая, проходящая через <i>P</i> параллельно <i>AO</i>, пересекает прямую <i>BA</i> в точке <i>A</i><sub>1</sub>; прямая, проходящая через <i>P</i> параллельно <i>CO</i>, пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>BC</i><sub>1</sub> движется по прямой.
Точки <i>K, L, M</i> и <i>N</i> на сторонах <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> квадрата <i>ABCD</i> образуют еще один квадрат. <i>DK</i> пересекает <i>NM</i> в точке <i>E</i>, а <i>KC</i> пересекает <i>LM</i> в точке <i>F</i>.
Докажите, что <i>EF || AB</i>.
В угол вписаны непересекающиеся окружности ω<sub>1 </sub> и ω<sub>2</sub>. Рассмотрим все такие пары параллельных прямых <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub>, что <i>l</i><sub>1</sub> касается ω<sub>1</sub>, <i>l</i><sub>2</sub> касается ω<sub>2</sub> (ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub> находятся между <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub>). Докажите, что средние линии всех трапеций, образованных прямыми <i>l</i><sub>1</sub>, <i>l</i><sub>2</sub> и сторонами данного угла, касаются фиксированной окружности.
Окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub>, касающиеся внешним образом в точке <i>L</i>, вписаны в угол <i>BAC</i>. Окружность ω<sub>1</sub> касается луча <i>AB</i> в точке <i>E</i>, а окружность ω<sub>2</sub> – луча <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Прямая <i>EL</i> пересекает повторно окружность ω<sub>2</sub> в точке <i>Q</i>. Докажите, что <i>MQ || AL</i>.
Дан прямоугольник <i>ABCD</i>. Через точку <i>B</i> провели две перпендикулярные прямые. Первая прямая пересекает сторону <i>AD</i> в точке <i>K</i>, а вторая продолжение стороны <i>CD</i> в точке <i>L</i>. Пусть <i>F</i> – точка пересечения <i>KL</i> и <i>AC</i>. Докажите, что <i>BF</i> ⊥ <i>KL</i>.
Перпендикуляр, восстановленный в вершине<i>C</i>параллелограмма<i>ABCD</i>к прямой<i>CD</i>, пересекает в точке<i>F</i>перпендикуляр, опущенный из вершины<i>A</i>на диагональ<i>BD</i>, а перпендикуляр, восстановленный из точки<i>B</i>к прямой<i>AB</i>, пересекает в точке<i>E</i>серединный перпендикуляр к отрезку<i>AC</i>. В каком отношении отрезок<i>EF</i>делится стороной<i>BC</i>?
В треугольник вписан квадрат (две вершины на одной стороне и по одной на остальных). Докажите, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри квадрата.
Верно ли, что существуют выпуклые многогранники с любым количеством диагоналей? (<i>Диагональю</i> называется отрезок, соединяющий две вершины многогранника и не лежащий на его поверхности.)
Докажите, что для любого тетраэдра его самый маленький двугранный угол (из шести) не больше чем двугранный угол правильного тетраэдра.
Вписанная окружность разностороннего треугольника <i>ABC</i> касается стороны <i>AB</i> в точке <i>C'</i>. Окружность с диаметром <i>BC'</i> пересекает вписанную окружность вторично в точке <i>A</i><sub>1</sub>, а биссектрису угла <i>B</i> вторично в точке <i>A</i><sub>2</sub>. Окружность с диаметром <i>AC'</i> пересекает вписанную окружность вторично в точке <i>B</i><sub>1</sub>, а биссектрису угла <i>A</i> вторично в точке <i>B</i><sub>2</sub>. Докажите, что прямые <i>AB, A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</su...
Даны окружность, её хорда <i>AB</i> и середина <i>W</i> меньшей дуги <i>AB</i>. На большей дуге <i>AB</i> выбирается произвольная точка <i>C</i>. Касательная к окружности, проведённая из точки <i>C</i>, пересекает касательные, проведённые из точек <i>A</i> и <i>B</i>, в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Прямые <i>WX</i> и <i>WY</i> пересекают прямую <i>AB</i> в точках <i>N</i> и <i>M</i> соответственно. Докажите, что длина отрезка <i>NM</i> не зависит от выбора точки <i>C</i>.
Девять окружностей расположены вокруг произвольного треугольника так, как показано на рисунке. Окружности, касающиеся одной и той же стороны треугольника, равны между собой. Докажите, что три прямые на рисунке пересекаются в одной точке. (Прямые проходят через вершины треугольника и центры соответствующих окружностей.) <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64810/problem_64810_img_2.png"></div>
Пусть <i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC, M, N</i> – середины дуг <i>ABC</i> и <i>BAC</i> описанной окружности. Докажите, что точки <i>M, I, N</i> лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда <i>AC + BC</i> = 3<i>AB</i>.
Ортоцентр <i>H</i> треугольника <i>ABC</i> лежит на вписанной в треугольник окружности.
Докажите, что три окружности с центрами <i>A, B, C</i>, проходящие через <i>H</i>, имеют общую касательную.
Дан острый угол с вершиной <i>A</i> и точка <i>E</i> внутри него. Построить на сторонах угла точки <i>B, C</i> так, чтобы <i>E</i> была центром окружности Эйлера треугольника <i>ABC</i>.
В четырёхугольнике <i>ABCD</i> углы <i>A</i> и <i>C</i> – прямые. На сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках <i>X</i> и <i>Y</i>. Докажите, что прямая <i>XY</i> проходит через середину <i>K</i> диагонали <i>AC</i>
Пусть <i>M</i> – середина хорды <i>AB</i> окружности с центром <i>O</i>. Точка <i>K</i> симметрична <i>M</i> относительно <i>O, P</i> – произвольная точка окружности. Перпендикуляр к <i>AB</i> в точке <i>A</i> и перпендикуляр к <i>PK</i> в точке <i>P</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Точка <i>H</i> – проекция <i>P</i> на <i>AB</i>. Докажите, что прямая <i>QB</i> делит отрезок <i>PH</i> пополам.
Таня вырезала из клетчатой бумаги треугольник, изображённый на рисунке. Через некоторое время линии сетки выцвели. Сможет ли Таня их восстановить, не пользуясь никакими инструментами, а только перегибая треугольник? (Длины сторон треугольника Таня помнит.) <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64799/problem_64799_img_2.png"></div>
В треугольнике <i>ABC</i> отмечены середины сторон <i>AC</i> и <i>BC</i> – точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Угол <i>MAN</i> равен 15°, а угол <i>BAN</i> равен 45°.
Найдите угол <i>ABM</i>.