Решение 1:Пусть H_a, H_b, H_c – основания высот треугольника. Заметим, что  AH·HH_a = BH·HH_b = CH·HH_c  (например, первое равенство следует из того, что точки H_a и H_b лежат на окружности с диаметром AB). Поэтому существует инверсия с центром H, переводящая точки A, B, C в H_a, H_b, H_c соответственно (в случае остроугольного треугольника надо взять композицию инверсии и центральной симметрии относительно H). При этой инверсии стороны треугольника перейдут в окружности с диаметрами AH, BH, CH, а вписанная окружность – в прямую, касающуюся этих окружностей. Искомая прямая получается из этой гомотетией с центром H и коэффициентом 2.

Решение 2:Пусть I – центр вписанной окружности, A₁, B₁, C₁ – точки её касания со сторонами BC, AC, AB соответственно, а A₂, B₂, C₂ – такие точки (на трёх окружностях из условия), что треугольник A₁IH подобен треугольнику HAA₂, треугольник B₁IH – треугольнику HBB₂ и треугольник C₁IH – треугольнику HCC₂ (подобные треугольники расположены так, что их стороны соответственно параллельны). Касательные в этих точках к этим окружностям параллельны касательной в H к вписанной окружности; достаточно доказать, что эти касательные совпадают, а для этого достаточно показать, что проекции векторов    ,     и      на IH равны. Нетрудно видеть, что они сонаправлены. Поскольку HA₂ составляет равные углы с IH и IA₂, длина первой проекции равна длине проекции HA₂ на AH, то есть  ¹/_r AH·HH_a.  Аналогично вычисляются остальные проекции; осталось снова вспомнить, что  AH·HH_a = BH·HH_b = CH·HH_c.

Ответ задачи отсутствует