Олимпиадные задачи по математике
В прямоугольном треугольнике $ABC$ $I$ – центр вписанной окружности, $M$ – середина гипотенузы $AB$. Касательная к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $C$ пересекает прямую, проходящую через $I$ и параллельную $AB$, в точке $P$. Точка $H$ – ортоцентр треугольника $PAB$. Докажите, что точка пересечения прямых $CH$ и $PM$ лежит на вписанной окружности треугольника $ABC$.
Окружность $\omega$, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Перпендикуляр из $E$ на $DF$ пересекает прямую $BC$ в точке $X$, а перпендикуляр из $F$ на $DE$ пересекает $BC$ в точке $Y$. Отрезок $AD$ пересекает $\omega$ во второй раз в точке $Z$. Докажите, что описанная окружность треугольника $XYZ$ касается $\omega$.
Окружность $\omega_1$ проходит через вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ и касается лучей $CB$, $CD$. Окружность $\omega_2$ касается лучей $AB$, $AD$ и касается внешним образом $\omega_1$ в точке $T$. Докажите, что $T$ лежит на диагонали $AC$.
Пусть $M$ – середина гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность, проходящая через $C$ и $M$, пересекает прямые $BC$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Пусть $c_1, c_2$ – окружности с центрами $P$, $Q$ и радиусами $BP$, $AQ$ соответственно. Докажите, что $c_1$, $c_2$ и описанная окружность треугольника $ABC$ проходят через одну точку.
В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> точка <i>D</i> – середина высоты, опущенной на гипотенузу <i>AB</i>. Прямые, симметричные <i>AB</i> относительно <i>AD</i> и <i>BD</i>, пересекаются в точке <i>F</i>. Найдите отношение площадей треугольников <i>ABF</i> и <i>ABC</i>.
Точка <i>D</i> лежит на основании <i>BC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i>, а точки <i>M</i> и <i>K</i> – на его боковых сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> соответственно, причём <i>AMDK</i> – параллелограмм. Прямые <i>MK</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>L</i>. Перпендикуляр к <i>BC</i>, восставленный из точки <i>D</i>, пересекает прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что окружность с центром <i>L</i>, проходящая через <i>D</i>, касается описанной окружности треугольника <i>AXY</i>.
Ортоцентр <i>H</i> треугольника <i>ABC</i> лежит на вписанной в треугольник окружности.
Докажите, что три окружности с центрами <i>A, B, C</i>, проходящие через <i>H</i>, имеют общую касательную.