Олимпиадные задачи из источника «I Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2005 г.)» для 8 класса

Две окружности с радиусами 1 и 2 имеют общий центр в точке <i>O</i>. Вершина <i>A</i> правильного треугольника <i>ABC</i> лежит на большей окружности, а середина стороны <i>BC</i> – на меньшей. Чему может быть равен угол <i>BOC</i>?

Пусть <i>O</i> – центр правильного треугольника <i>ABC</i>. Из произвольной точки <i>P</i> плоскости опустили перпендикуляры на стороны треугольника или их продолжения. Обозначим через <i>M</i> точку пересечения медиан треугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров. Докажите, что <i>M</i> – середина отрезка <i>PO</i>.

Вокруг выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> описаны три прямоугольника. Известно, что два из этих прямоугольников являются квадратами. Верно ли, что и третий обязательно является квадратом? (Прямоугольник описан около четырёхугольника <i>ABCD</i>, если на каждой стороне прямоугольника лежит по одной вершине четырёхугольника.)

Сторону <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> разделили на <i>n</i> равных частей (точки деления  <i>B</i>₀ = <i>A,  B</i>₁, <i>B</i>₂,  <i>B_n = B</i>),  а сторону <i>AC</i> этого треугольника разделили на

<i>n</i> + 1  равных частей (точки деления  <i>C</i>₀ = <i>A,  C</i>₁, <i>C</i>₂, ..., <i>C</i>_<i>n</i>+1 = <i>C</i>).  Закрасили треугольники <i>C_iB_iC</i><sub><i&gt...

Имеются две параллельные прямые <i>p</i>₁ и <i>p</i>₂. Точки <i>A</i> и <i>B</i> лежат на <i>p</i>₁, а <i>C</i> – на <i>p</i>₂. Будем перемещать отрезок <i>BC</i> параллельно самому себе и рассмотрим все треугольники <i>ABC</i>, полученные таким образом. Найдите геометрическое место точек, являющихся в этих треугольниках:

  а) точками пересечения высот;

  б) точками пересечения медиан;

  в) центрами описанных окружностей.

Дана окружность и точка <i>К</i> внутри неё. Произвольная окружность, равная данной и проходящая через точку <i>К</i>, имеет с данной окружностью общую хорду. Найдите геометрическое место середин этих хорд.

Разрежьте крест, составленный из пяти одинаковых квадратов, на три многоугольника, равных по площади и периметру.

Хорды <i>AC</i> и <i>BD</i> окружности пересекаются в точке <i>P</i>. Перпендикуляры к <i>AC</i> и <i>BD</i> в точках <i>C</i> и <i>D</i>, соответственно пересекаются в точке <i> Q </i>.

Докажите, что прямые <i>AB</i> и <i>PQ</i> перпендикулярны.

Точки<i>A</i>и<i>B</i>, лежащие на окружности разбивают её на две дуги. Найдите геометрическое место середин всевозможных хорд, концы которых лежат на разных дугах<i>AB</i>.

На плоскости дан угол и точка <i>К</i> внутри него. Доказать, что найдётся точка <i>М</i>, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через <i>К</i>, пересекает стороны угла в точках <i>А</i> и <i>В</i>, то <i>МК</i> является биссектрисой угла <i>АМВ</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен α,  <i>BC = a</i>.  Вписанная окружность касается прямых <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>M</i> и <i>P</i>.

Найти длину хорды, высекаемой на прямой <i>MP</i> окружностью с диаметром <i>BC</i>.

Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – середины сторон правильного треугольника <i>ABC</i>. Три параллельные прямые, проходящие через <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, пересекают, соответственно, прямые <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>C</i>₁<i>A</i>₁, <i>A</i>₁<i>B</i>₁ в точках <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i...

Пусть <i>H</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC, X</i> – произвольная точка. Окружность с диаметром <i>XH</i> вторично пересекает прямые <i>AH, BH, CH</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, а прямые <i>AX, BX, CX</i> в точках <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂. Доказать, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>B</i>₁<i>B</i>₂, <i> C</i>₁<i>C</i&...

Две окружности радиуса 1 пересекаются в точках <i>X, Y</i>, расстояние между которыми также равно 1. Из точки <i>C</i> одной окружности проведены касательные <i>CA, CB</i> к другой. Прямая <i>CB</i> вторично пересекает первую окружность в точке <i>A'</i>. Найти расстояние <i>AA'</i>.

В окружности с центром <i>O</i> проведены две параллельные хорды <i>AB</i> и <i>CD</i>. Окружности с диаметрами <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>.

Доказать, что середина отрезка <i>OP</i> равноудалена от прямых <i>AB</i> и <i>CD</i>.

Треугольник можно разрезать на три подобных друг другу треугольника.

Доказать, что его можно разрезать на любое число подобных друг другу треугольников.

Дано, что ни для какой стороны треугольника из проведённых к ней высоты, биссектрисы и медианы нельзя составить треугольник.

Доказать, что один из углов треугольника больше чем 135°.

Пусть <i>P</i> – точка пересечения диагоналей четырёхугольника <i>ABCD, M</i> – точка пересечения прямых, соединяющих середины его противоположных сторон, <i>O</i> – точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям, <i>H</i> – точка пересечения прямых, соединяющих ортоцентры треугольников <i>APD</i> и <i>BPC, APB</i> и <i>CPD</i>. Доказать, что <i>M</i> – середина <i>OH</i>.

Найти все равнобедренные треугольники, которые нельзя разрезать на три равнобедренных треугольника с одинаковыми боковыми сторонами.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность, центр <i>O</i> которой лежит внутри него.

Доказать, что, если  ∠<i>BAO</i> = ∠<i>DAC</i>,  то диагонали четырёхугольника перпендикулярны.

Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Оклейте куб в один слой пятью равновеликими выпуклыми пятиугольниками.

Квадрат разрезали на <i>n</i> прямоугольников размером  <i>a_i</i>×<i>b_i</i>,  <i>i</i> = 1, ..., <i>n</i>.

При каком наименьшем <i>n</i> в наборе  {<i>a</i>₁, <i>b</i>₁, ..., <i>a_n, b_n</i>}  все числа могут оказаться различными?

Разрежьте неравносторонний треугольник на четыре подобных треугольника, среди которых не все одинаковы.