Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: треугольник и высоты, биссектрисы, медианы
Задача
Дано, что ни для какой стороны треугольника из проведённых к ней высоты, биссектрисы и медианы нельзя составить треугольник.
Доказать, что один из углов треугольника больше чем 135°.
Решение
Из условия следует, что каждая медиана не меньше суммы биссектрисы и высоты, проведённых из той же вершины. Если между какой-то медианой и соответствующей высотой угол не больше 60°, то медиана не больше удвоенной высоты, а сумма биссектрисы и высоты не меньше, причём равенство не достигается одновременно. Поэтому из условия следует, что угол между каждой медианой и соответствующей высотой больше 60°. Так как в треугольнике наименьший угол не больше 60°, то какая-то высота проходит вне треугольника, то есть он тупоугольный.
Пусть A – вершина тупого угла, B и C – остальные две вершины, AM – медиана, AH – высота, причём точка M принадлежит отрезку BH. По доказанному ∠AMH < 30°. Он равен сумме углов ABM и BAM. Медиана из вершины тупого угла меньше половины противолежащей стороны (см. задачу 135370). Отсюда ∠ABM < 15°.
Высота из вершины B образует угол больше 60° с соответствующей медианой и, тем более, со стороной BC. Поэтому ∠C < 30°. Значит,
∠A > 180° – 15° – 30° = 135°.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь