Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии для 8-9 класса: разрезание треугольника на подобные треугольники
Задача
Треугольник можно разрезать на три подобных друг другу треугольника.
Доказать, что его можно разрезать на любое число подобных друг другу треугольников.
Решение
Пусть треугольник ABC с наибольшим углом C разрезан на три подобных отрезками AX, BX, CX. Так как ∠AXB > ∠ACB, углу AXB в других треугольниках могут равняться только углы AXC и BXC. Значит, ∠AXB = ∠AXC = ∠BXC = 120°. Но тогда AX = BX = CX и треугольник ABC – правильный.
Пусть теперь треугольник разрезали сначала прямой, проходящей через вершину, на два, а затем один из этих двух еще на два. Так как два последних треугольника подобны, они прямоугольные, то есть при первом разрезе от исходного треугольника отрезали прямоугольный, а затем оставшийся треугольник разделили на два высотой. Перебрав все варианты, нетрудно убедиться, что исходный треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный. И в том, и в другом случае его можно разрезать на любое число подобных.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь