Олимпиадная задача по планиметрии: две пересекающиеся окружности и касательные

  Пусть B' – точка пересечения первой окружности Ω с прямой CA, O – её центр, O' – центр другой окружности Ω'. Прямая CO' – биссектриса угла ACB, поэтому пересекает Ω в середине K дуги A'B'. Степень точки O' относительно Ω равна  O'O² – OС² = 2,  значит,  O'K·O'C = 2.  Пусть  ∠A'CO' = γ,  тогда

sin γ = ^O'B/_CO' = ¹/_CO',  а  A'K = 2 OC sin γ = ²/_CO' = O'K.  По лемме о трезубце (см. задачу 155381) O' – центр вневписанной окружности треугольника A'CB', то есть прямая A'B' касается окружности Ω' в некоторой точке C'.

  Следовательно,  ∠A'O'A = ∠AO'C' + ½ C'O'B = ∠CB'A' + ½ CA'B',  ∠O'A'O = ∠O'A'B' + ∠B'A'O = ^π/₂ – ∠C'O'A' + ^π/₂ – ∠BCA = π – ∠BCA – ½ CA'B' = ∠CB'A' + ½ CA'B'.  Так как  O'A = OA',  AO'A'O – равнобедренная трапеция, и  AA' = OO' =   (см. рис.).

.