Олимпиадные задачи из источника «Заочный тур» для 8 класса
Заочный тур
НазадДве окружности с радиусами 1 и 2 имеют общий центр в точке <i>O</i>. Вершина <i>A</i> правильного треугольника <i>ABC</i> лежит на большей окружности, а середина стороны <i>BC</i> – на меньшей. Чему может быть равен угол <i>BOC</i>?
Пусть <i>O</i> – центр правильного треугольника <i>ABC</i>. Из произвольной точки <i>P</i> плоскости опустили перпендикуляры на стороны треугольника или их продолжения. Обозначим через <i>M</i> точку пересечения медиан треугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров. Докажите, что <i>M</i> – середина отрезка <i>PO</i>.
Вокруг выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> описаны три прямоугольника. Известно, что два из этих прямоугольников являются квадратами. Верно ли, что и третий обязательно является квадратом? (Прямоугольник описан около четырёхугольника <i>ABCD</i>, если на каждой стороне прямоугольника лежит по одной вершине четырёхугольника.)
Сторону <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> разделили на <i>n</i> равных частей (точки деления <i>B</i><sub>0</sub> = <i>A, B</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>2</sub>, <i>B<sub>n</sub> = B</i>), а сторону <i>AC</i> этого треугольника разделили на
<i>n</i> + 1 равных частей (точки деления <i>C</i><sub>0</sub> = <i>A, C</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>2</sub>, ..., <i>C</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>C</i>). Закрасили треугольники <i>C<sub>i</sub>B<sub>i</sub>C</i><sub><i>...
Имеются две параллельные прямые <i>p</i><sub>1</sub> и <i>p</i><sub>2</sub>. Точки <i>A</i> и <i>B</i> лежат на <i>p</i><sub>1</sub>, а <i>C</i> – на <i>p</i><sub>2</sub>. Будем перемещать отрезок <i>BC</i> параллельно самому себе и рассмотрим все треугольники <i>ABC</i>, полученные таким образом. Найдите геометрическое место точек, являющихся в этих треугольниках:
а) точками пересечения высот;
б) точками пересечения медиан;
в) центрами описанных окружностей.
Дана окружность и точка <i>К</i> внутри неё. Произвольная окружность, равная данной и проходящая через точку <i>К</i>, имеет с данной окружностью общую хорду. Найдите геометрическое место середин этих хорд.
Разрежьте крест, составленный из пяти одинаковых квадратов, на три многоугольника, равных по площади и периметру.
Хорды <i>AC</i> и <i>BD</i> окружности пересекаются в точке <i>P</i>. Перпендикуляры к <i>AC</i> и <i>BD</i> в точках <i>C</i> и <i>D</i>, соответственно пересекаются в точке <i> Q </i>.
Докажите, что прямые <i>AB</i> и <i>PQ</i> перпендикулярны.
Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.
Оклейте куб в один слой пятью равновеликими выпуклыми пятиугольниками.
Квадрат разрезали на <i>n</i> прямоугольников размером <i>a<sub>i</sub></i>×<i>b<sub>i</sub></i>, <i>i</i> = 1, ..., <i>n</i>.
При каком наименьшем <i>n</i> в наборе {<i>a</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub>, b<sub>n</sub></i>} все числа могут оказаться различными?
Разрежьте неравносторонний треугольник на четыре подобных треугольника, среди которых не все одинаковы.