Олимпиадные задачи из источника «2014/2015» для 10 класса - сложность 2 с решениями
Прямоугольный параллелепипед размером <i>m</i>×<i>n</i>×<i>k</i> разбит на единичные кубики. Сколько всего образовалось параллелепипедов (включая исходный)?
Существует ли непрямоугольный треугольник, вписанный в окружность радиуса 1, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна 4?
Найдите все натуральные <i>n</i> > 2, для которых многочлен <i>x<sup>n</sup> + x</i>² + 1 делится на многочлен <i>x</i>² + <i>x</i> + 1.
Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность, <i>АС = а, BD = b, AB</i> ⊥ <i>CD</i>. Найдите радиус окружности.
По положительным числам <i>х</i> и <i>у</i> вычисляют <i>а</i> = <sup>1</sup>/<sub><i>y</i></sub> и <i>b</i> = <i>y</i> + <sup>1</sup>/<sub><i>x</i></sub>. После этого находят <i>С</i> – наименьшее число из трёх: <i>x, a</i> и <i>b</i>.
Какое наибольшее значение может принимать <i>C</i>?
Найдите <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65173/problem_65173_img_2.gif"> если <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65173/problem_65173_img_3.gif">.
Три трёхзначных простых числа, составляющие арифметическую прогрессию, записаны подряд.
Может ли полученное девятизначное число быть простым?
Дан треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Построены три круга радиусами 1 с центрами в вершинах треугольника.
Найдите суммарную площадь частей кругов, заключённых внутри треугольника.
Упростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней): <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64993/problem_64993_img_2.gif"> .
Сумма цифр натурального числа <i>n</i> равна сумме цифр числа 2<i>n</i> + 1. Могут ли быть равными суммы цифр чисел 3<i>n</i> – 3 и <i>n</i> – 2?
Правильный треугольник со стороной 1 разрезан произвольным образом на равносторонние треугольники, в каждый из которых вписан круг.
Найдите сумму площадей этих кругов.
Найдите наименьшее значение дроби <sup><i>x</i></sup>/<sub><i>y</i></sub>, если <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64900/problem_64900_img_2.gif">.
Существуют ли такие две функции с наименьшими положительными периодами 2 и 6, что их сумма имеет наименьший положительный период 3?
На столе выложены в ряд 64 гирьки, причём масса двух любых соседних гирек отличается на 1 г. Требуется разложить гирьки на две кучки с равными массами и равным количеством гирь. Всегда ли это удастся?
Точки <i>D, Е</i> и <i>F</i> – середины сторон <i>ВС, АС</i> и <i>АВ</i> треугольника <i>АВС</i> соответственно. Через центры вписанных окружностей треугольников <i>AEF, BDF</i> и <i>СDE</i> проведена окружность. Докажите, что её радиус равен радиусу описанной окружности треугольника <i>DEF</i>.
Решите систему уравнений: <img align="middle" src="/storage/problem-media/64894/problem_64894_img_2.gif">.
На доске размером 8×8 в углу расставлены 9 фишек в форме квадрата 3×3. Любая фишка может прыгать через другую фишку на свободную клетку (по горизонтали, вертикали или диагонали). Можно ли за некоторое количество прыжков расставить фишки в форме такого же квадрата в каком-либо другом углу доски?
Четырёхугольник <i>АВСD</i> – вписанный. Лучи <i>АВ</i> и <i>DС</i> пересекаются в точке <i>M</i>, а лучи <i>ВС</i> и <i>AD</i> – в точке <i>N</i>. Известно, что <i>ВМ = DN</i>.
Докажите, что <i>CM = CN</i>.
Существует ли такая цифра <i>а</i>, что <span style="text-decoration: overline;"><i>aaa</i>(<i>a</i>–1)</span> = (<i>а</i> – 1)<sup><i>а</i>–2</sup>.
Решите систему: <img align="middle" src="/storage/problem-media/64888/problem_64888_img_2.gif">.
Трое играют в настольный теннис на "вылет", то есть игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге Никанор сыграл 10 партий, Филимон – 15, а Агафон – 17. Кто из них проиграл во второй партии?
На доске был изображен пятиугольник, вписанный в окружность. Маша измерила его углы и у нее получилось, что они равны 80°, 90°, 100°, 130° и 140° (именно в таком порядке). Не ошиблась ли Маша?
В строку выписаны 40 знаков: 20 крестиков и 20 ноликов. За один ход можно поменять местами любые два соседних знака. За какое наименьшее количество ходов можно гарантированно добиться того, чтобы какие-то 20 стоящих подряд знаков оказались крестиками?
В треугольнике <i>АВС</i> проведены высота <i>ВН</i>, медиана <i>ВВ</i><sub>1</sub> и средняя линия <i>А</i><sub>1</sub><i>С</i><sub>1</sub> (<i>А</i><sub>1 </sub> лежит на стороне <i>ВС, С</i><sub>1</sub> – на стороне <i>АВ</i>). Прямые <i>А</i><sub>1</sub><i>С</i><sub>1</sub> и <i>ВВ</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>М</i>, а прямые <i>С</i><sub>1</sub><i>В</i><sub>1</sub> и <i>А</i><sub>1</sub><i>Н</i> – в точке <i>N</i>. Докажите, что прямые <i>...
Докажите, что для положительных значений <i>а, b</i> и <i>c</i> выполняется неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64831/problem_64831_img_2.gif"> ≤ <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64831/problem_64831_img_3.gif">.