Пусть, например,  f(x) = cos ²/₃ πx + cos πx,  g(x) = – cos πx,  тогда их сумма h(x) равна  cos ²/₃ πx.

  Наименьший положительный период функции g(x) равен  2π : π = 2,  а наименьший положительный период функции h(x) равен  2π : ^2π/₃ = 3.

  Докажем, что наименьший положительный период функции f(x) равен 6. Действительно, число 6 кратно 3 и 2, поэтому является как периодом функции h(x), так и периодом функции g(x), значит, является и периодом их разности.

  Предположим, что положительное число T является периодом функции  f(x). Тогда

cos ²/₃ πT + cos πT = cos 0 + cos 0 = 2  ⇔  cos ²/₃ πT = cos πT = 1  ⇔  cos ²/₃ πT = cos πT = 1  ⇔  ²/₃ πT = 2πk,  πT = 2πn,  k, n ∈ N.  Следовательно,

T = 3k = 2n.  Значит, T – целое число, кратное как 2, так и 3, то есть оно не меньше 6.

Существуют.