Заметим, что треугольник DEF подобен треугольнику АВС с коэффициентом  k = 0,5  (см. рис.). Обозначим центры вписанных окружностей треугольников AEF, BDF и СDE через A', B' и C' соответственно, тогда окружность, содержащая эти точки, описана около треугольника A'B'C'.

  ПустьI– центр вписанной окружности треугольникаАВС. ТреугольникAEFявляется образом треугольникаАВСпри гомотетии с центромАи коэффициентом  k= 0,5,  поэтому точкаA'является образом точкиIпри этой гомотетии, значит,A'– середина отрезкаАI. Аналогично, рассмотрев гомотетии с центрамиВиСи коэффициентом k= 0,5,  получим, что точкиB'иC'– середины отрезковBIиCIсоответственно. Следовательно, отрезкиA'B', B'C'иC'A'– средние линии треугольниковAIB, BICиCIA. Таким образом, треугольникA'B'C'также подобен треугольникуАВСс коэффициентом  k= 0,5.  Значит, треугольникиA'B'CиDEFравны, поэтому равны и радиусы их описанных окружностей.

Ответ задачи отсутствует