Олимпиадные задачи по математике
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> на высоте <i>BK</i> как на диаметре построена окружность <i>S</i>, пересекающая стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> соответственно. К окружности <i>S</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> проведены касательные. Докажите, что их точка пересечения лежит на прямой, содержащей медиану треугольника <i>ABC</i>, проведённую из вершины <i>B</i>.
Внутри угла с вершиной <i>M</i> отмечена точка <i>A</i>. Из этой точки выпустили шар, который отразился от одной стороны угла в точке <i>B</i>, затем от другой стороны в точке <i>C</i> и вернулся в <i>A</i> ("угол падения" равен "углу отражения", см. рис.). Докажите, что центр <i>O</i> описанной окружности треугольника <i>BCM</i> лежит на прямой <i>AM</i>. (Шар считайте точкой.) <img src="/storage/problem-media/105104/problem_105104_img_2.png" width="200">
В треугольнике <i>АВС</i> проведены высота <i>ВН</i>, медиана <i>ВВ</i><sub>1</sub> и средняя линия <i>А</i><sub>1</sub><i>С</i><sub>1</sub> (<i>А</i><sub>1 </sub> лежит на стороне <i>ВС, С</i><sub>1</sub> – на стороне <i>АВ</i>). Прямые <i>А</i><sub>1</sub><i>С</i><sub>1</sub> и <i>ВВ</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>М</i>, а прямые <i>С</i><sub>1</sub><i>В</i><sub>1</sub> и <i>А</i><sub>1</sub><i>Н</i> – в точке <i>N</i>. Докажите, что прямые <i>...