Задача
Найдите все натуральные n > 2, для которых многочлен xn + x² + 1 делится на многочлен x² + x + 1.
Решение
Пусть n = 3k + r, где 0 ≤ r ≤ 2. Так как x3k+r – xr = xr(x3k – 1) делится на x³ – 1 и, тем более, на x² + x + 1, то достаточно выяснить, делится ли многочлен xr + x² + 1 на x² + x + 1.
При r = 1 это так, а при r = 0 и r = 2 соответствующие многочлены (x² + 2 и 2x² + 1) на x² + x + 1 не делятся.
Ответ
n = 3k + 1, k ∈ N.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет