Олимпиадные задачи из источника «11 класс»

Сумма цифр натурального числа <i>n</i> равна сумме цифр числа  2<i>n</i> + 1.  Могут ли быть равными суммы цифр чисел  3<i>n</i> – 3  и  <i>n</i> – 2?

Правильный треугольник со стороной 1 разрезан произвольным образом на равносторонние треугольники, в каждый из которых вписан круг.

Найдите сумму площадей этих кругов.

Найдите наименьшее значение дроби ^<i>x</i>/_<i>y</i>, если   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64900/problem_64900_img_2.gif">.

В равенстве  <i>х</i>⁵ + 2<i>x</i> + 3 = <i>p^k</i>  числа <i>х</i> и <i>k</i> – натуральные. Может ли число <i>р</i> быть простым?

В тетраэдре <i>АВСD</i>:  <i>АВ</i> = 8,  <i>ВС</i> = 10,  <i>АС</i> = 12,  <i>BD</i> = 15.  Известно, что четыре отрезка, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противолежащие грани, пересекаются в одной точке. Найдите длины рёбер <i>DA</i> и <i>DC</i>.

Существуют ли такие две функции с наименьшими положительными периодами 2 и 6, что их сумма имеет наименьший положительный период 3?

На столе выложены в ряд 64 гирьки, причём масса двух любых соседних гирек отличается на 1 г. Требуется разложить гирьки на две кучки с равными массами и равным количеством гирь. Всегда ли это удастся?

Точки <i>D, Е</i> и <i>F</i> – середины сторон <i>ВС, АС</i> и <i>АВ</i> треугольника <i>АВС</i> соответственно. Через центры вписанных окружностей треугольников <i>AEF, BDF</i> и <i>СDE</i> проведена окружность. Докажите, что её радиус равен радиусу описанной окружности треугольника <i>DEF</i>.

Решите систему уравнений:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/64894/problem_64894_img_2.gif">.

На доске размером 8×8 в углу расставлены 9 фишек в форме квадрата 3×3. Любая фишка может прыгать через другую фишку на свободную клетку (по горизонтали, вертикали или диагонали). Можно ли за некоторое количество прыжков расставить фишки в форме такого же квадрата в каком-либо другом углу доски?

Четырёхугольник <i>АВСD</i> – вписанный. Лучи <i>АВ</i> и <i>DС</i> пересекаются в точке <i>M</i>, а лучи <i>ВС</i> и <i>AD</i> – в точке <i>N</i>. Известно, что  <i>ВМ = DN</i>.

Докажите, что  <i>CM = CN</i>.

Числовая функция  <i>f</i> такова, что для любых <i>x</i> и <i>y</i> выполняется равенство  <i>f</i>(<i>x + y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>f</i>(<i>y</i>) + 80<i>xy</i>.  Найдите  <i>f</i>(1), если  <i>f</i>(0,25) = 2.

Существует ли такая цифра <i>а</i>, что  <span style="text-decoration: overline;"><i>aaa</i>(<i>a</i>–1)</span> = (<i>а</i> – 1)^{<i>а</i>–2}.

Существует ли выпуклый 1000-угольник, у которого все углы выражаются целыми числами градусов?

Решите систему:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/64888/problem_64888_img_2.gif">.