Олимпиадные задачи из источника «7 класс»

Верно ли, что изменив одну цифру в десятичной записи любого натурального числа, можно получить простое число?

На гипотенузе <i>AB</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> выбрана такая точка <i>D</i>, что  <i>BD = BC</i>,  а на катете <i>BC</i> – такая точка <i>E</i>, что  <i>DE = BE</i>.

Докажите, что  <i>AD + CE = DE</i>.

На листе бумаги были построены система координат (выделена жирно) и графики трёх функций:  <i>y = ax + b,  y = bx + c</i>  и  <i>y = cx + a</i>.  После этого стёрли обозначения и направления осей, а сам лист как-то повернули (см. рисунок). Укажите на рисунке ось абсцисс и ее направление.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65221/problem_65221_img_2.gif"></div>

В некоторой школе в каждом из 20 классов выбрали совет из 5 учеников. Петя оказался единственным мальчиком, избранным в совет класса вместе с четырьмя девочками. Он заметил, что еще в 15 классах девочек выбрали больше, чем мальчиков, хотя в целом по школе мальчиков и девочек выбрано поровну. Сколько мальчиков и сколько девочек в советах четырёх оставшихся классов (в сумме)?

На сторонах угла <i>ABC</i> отмечены точки <i>М</i> и <i>K</i> так, что углы <i>BMC</i> и <i>BKA</i> равны,  <i>BM = BK,  AB</i> = 15,  <i>BK</i> = 8,  <i>CM</i> = 9.

Найдите периметр треугольника <i>СOK</i>, где <i>O</i> – точка пересечения прямых <i>AK</i> и <i>СМ</i>.

Девять чисел таковы, что сумма каждых четырёх из них меньше суммы пяти остальных. Докажите, что все числа положительны.

Известно, что остаток от деления некоторого простого числа на 60 равен составному числу. Какому?

В некоторый момент угол между часовой и минутной стрелками равен α. Через час он опять равен α. Найдите все возможные значения α.

Банк "Империал" при снятии денег со счета берет комиссию, состоящую из двух частей: фиксированной оплаты за проведение операции и еще оплаты, пропорциональной снятой сумме. Например, при снятии со счета 5000 рублей вкладчик заплатит 110 рублей, а при снятии 11000 рублей заплатит 230 рублей. Какую комиссию заплатит вкладчик, если он захочет снять со счета 8000 рублей?

Можно ли разрезать квадрат 5×5 на прямоугольники двух видов: 1×4 и 1×3 так, чтобы получилось 7 прямоугольников?

В четырёхугольнике <i>ABCD</i> биссектрисы <i>АЕ</i> и <i>СF</i> углов <i>A</i> и <i>C</i> параллельны (см. рисунок). Докажите, что углы <i>B</i> и <i>D</i> равны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65213/problem_65213_img_2.gif"></div>

Два автобуса ехали навстречу друг другу с постоянными скоростями. Первый выехал из Москвы в 11 часов утра и прибыл в Ярославль в 16 часов, а второй выехал из Ярославля в 12 часов и прибыл в Москву в 17 часов. В котором часу они встретились?