Олимпиадные задачи из источника «8 класс»
8 класс
НазадНа стороне <i>AB</i> параллелограмма <i>ABCD</i> (или на её продолжении) взята точка <i>M</i>, для которой ∠<i>MAD</i> = ∠<i>AMO</i>, где <i>O</i> – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Докажите, что <i>MD = MC</i>.
В ряд записаны 20 различных натуральных чисел. Произведение каждых двух из них, стоящих подряд, является квадратом натурального числа. Первое число равно 42. Докажите, что хотя бы одно из чисел больше чем 16000.
Три числа <i>x, y</i> и <i>z</i> отличны от нуля и таковы, что <i>x</i>² – <i>y</i>² = <i>yz</i> и <i>y</i>² – <i>z</i>² = <i>xz</i>. Докажите, что <i>x</i>² – <i>z</i>² = <i>xy</i>.
На доске выписаны числа 1, 2, ..., 100. На каждом этапе одновременно стираются все числа, не имеющие среди нестёртых чисел делителей, кроме себя самого. Например, на первом этапе стирается только число 1. Какие числа будут стёрты на последнем этапе?
В треугольнике <i>ABC</i> на сторонах <i>AB, AC</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>D, E</i> и <i>F</i> соответственно так, что <i>BF</i> = 2<i>CF, CE</i> = 2<i>AE</i> и угол <i>DEF</i> – прямой.
Докажите, что <i>DE</i> – биссектриса угла <i>ADF</i>.
Набор из нескольких чисел, среди которых нет одинаковых, обладает следующим свойством: среднее арифметическое каких-то двух чисел из этого набора равно среднему арифметическому каких-то трёх чисел из набора и равно среднему арифметическому каких-то четырёх чисел из набора. Каково наименьшее возможное количество чисел в таком наборе?
В клетках таблицы 3×3 расставили цифры от 1 до 9. Затем нашли суммы цифр в каждой строке.
Какое наибольшее количество из этих сумм может оказаться полным квадратом?
Бумажный прямоугольный треугольник <i>АВС</i> перегнули по прямой так, что вершина <i>С</i> прямого угла совместилась с вершиной <i>В</i> и получился четырёхугольник. В каких отношениях точка пересечения диагоналей четырёхугольника делит эти диагонали?
Упростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней): <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64993/problem_64993_img_2.gif"> .
По окончании шахматного турнира Незнайка сказал: "Я набрал на 3,5 очка больше, чем потерял". Могут ли его слова быть правдой?
(Победа – 1 очко, ничья – ½ очка, поражение – 0.)
В прямоугольном треугольнике <i>АВС</i> проведена высота <i>СН</i> из вершины прямого угла. Из вершины <i>В</i> большего острого угла проведён отрезок <i>BK</i> так, что ∠<i>CBK</i> = ∠<i>CАB</i> (см. рис.). Докажите, что <i>СН</i> делит <i>BK</i> пополам. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64991/problem_64991_img_2.gif"></div>
Вася сложил четвёртую степень и квадрат некоторого числа, отличного от нуля, и сообщил результат Пете.
Сможет ли Петя однозначно определить Васино число?