Разделим куб ABCDA'B'C'D' на 8 кубов с ребром ½ и впишем в кубы, прилегающие к вершинам A, C, B', D' чёрные шары, а в остальные – белые. Очевидно, что каждый чёрный шар касается трёх белых и наоборот, а шары одного цвета не имеют общих точек. Теперь заменим чёрные шары шарами с диаметром  ½ + ε,  а белые – шарами с диаметром  ½ – ε,  где  ε > 0  и меньше половины минимального расстояния между чёрными шарами, так что все шары по-прежнему касаются трёхгранных углов куба. Тогда чёрные шары по-прежнему не будут иметь общих точек. Докажем, что теперь и шары разного цвета не имеют общих точек. Действительно, пусть O₁, O₂ – центры шаров, вписанных в трёхгранные углы при вершинах A и B, а r₁, r₂ – радиусы этих шаров. Тогда проекция отрезка O₁O₂ на AB равна  1 – r₁ – r₂ = ½.  Поскольку  r₁ ≠ r₂,  то прямая O₁O₂ не параллельна AB, следовательно,  O₁O₂ > ½ = r₁ + r₂.  Таким образом, никакие два из наших восьми шаров не имеют общих точек, и можно немного увеличить их радиусы.

Может.