Олимпиадные задачи по математике
В выпуклом шестиугольнике <i>ABCDEF</i> все стороны равны, а также <i>AD = BE = CF</i>. Докажите, что в этот шестиугольник можно вписать окружность.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены медиана <i>AM</i> и высота <i>BH</i>. Перпендикуляр, восстановленный в точке <i>M</i> к прямой <i>AM</i>, пересекает луч <i>HB</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что если ∠<i>MAC</i> = 30°, то <i>AK = BC</i>.
Внутри равнобокой трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>BC</i> и <i>AD</i> расположена окружность ω с центром <i>I</i>, касающаяся отрезков <i>AB, CD</i> и <i>DA</i>. Описанная окружность треугольника <i>BIC</i> вторично пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>E</i>. Докажите, что прямая <i>CE</i> касается окружности ω.
Дан равнобедренный треугольник <i>ABC, AB = BC</i>. В описанной окружности Ω треугольника <i>ABC</i> проведён диаметр <i>CC'</i>. Прямая, проходящая через точку <i>C'</i> параллельно <i>BC</i>, пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>M</i> и <i>P</i> соответственно. Докажите, что <i>M</i> – середина отрезка <i>C'P</i>.
Дан выпуклый пятиугольник <i>ABCDE</i>, все стороны которого равны между собой. Известно, что угол <i>A</i> равен 120°, угол <i>C</i> равен 135°, а угол <i>D</i> равен <i>n</i>°.
Найдите все возможные целые значения <i>n</i>.
Дан прямоугольный треугольник <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i>. Пусть <i>BK</i> – биссектриса этого треугольника. Описанная окружность треугольника <i>AKB</i> пересекает вторично сторону <i>BC</i> в точке <i>L</i>. Докажите, что <i>CB + CL = AB</i>.