Олимпиадные задачи из источника «2016 год» - сложность 2 с решениями

Найдите наименьшее натуральное число, десятичная запись квадрата которого оканчивается на 2016.

Внутри трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> отмечены точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что  <i>AM = CN</i>  и  <i>BM = DN</i>,  а четырёхугольники <i>AMND</i> и <i>BMNC</i> – вписанные. Докажите, что прямая <i>MN</i> параллельна основаниям трапеции.

Существует ли такое значение <i>x</i>, что выполняется равенство  arcsin²<i>x</i> + arccos²<i>x</i> = 1?

На шахматном турнире для 12 участников каждый сыграл ровно по одной партии с каждым из остальных. За выигрыш давали 1 очко, за ничью – ½, за проигрыш – 0. Вася проиграл только одну партию, но занял последнее место, набрав меньше всех очков. Петя занял первое место, набрав больше всех очков. На сколько очков Вася отстал от Пети?

В треугольнике <i>ABC</i> на продолжении медианы <i>CM</i> за точку <i>C</i> отметили точку <i>K</i> так, что  <i>AM = CK</i>.  Известно, что угол <i>BMC</i> равен 60°.

Докажите, что  <i>AC = BK</i>.

Сумма трёх положительных чисел равна их произведению. Докажите, что хотя бы два из них больше единицы.

Найдите наименьшее натуральное число, кратное 99, в десятичной записи которого участвуют только чётные цифры.

На медиане <i>AM</i> треугольника <i>ABC</i> нашлась такая точка <i>K</i>, что  <i>AK = BM</i>.  Кроме того,  ∠<i>AMC</i> = 60°.  Докажите, что  <i>AC = BK</i>.

За круглым столом сидят 10 человек, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Двое из них заявили: "Оба моих соседа – лжецы", а остальные восемь заявили: "Оба моих соседа – рыцари". Сколько рыцарей могло быть среди этих 10 человек?

Можно ли число ¹/₁₀ представить в виде произведения десяти положительных правильных дробей?