Олимпиадные задачи из источника «2016 год» для 10 класса

Про приведённый многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>xⁿ</i> + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>₁<i>x + a</i>₀  с действительными коэффициентами известно, что при некотором натуральном

<i>m</i> ≥ 2  многочлен  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65692/problem_65692_img_2.gif">  имеет действительные корни, причём только положительные. Обязательно ли сам многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) имеет действительные корни, причём только положительные?

За некоторое время мальчик проехал на велосипеде целое число раз по периметру квадратной школы в одном направлении с постоянной по величине скоростью 10 км/ч. В это же время по периметру школы прогуливался его папа со скоростью 5 км/ч, при этом он мог менять направление движения. Папа видел мальчика в те и только те моменты, когда они находились на одной стороне школы. Мог ли папа видеть мальчика больше половины указанного времени?

Можно ли отметить <i>k</i> вершин правильного 14-угольника так, что каждый четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках, имеющий две параллельные стороны, является прямоугольником, если:  а) <i>k</i> = 6;   б) <i>k</i> ≥ 7?

Имеются чашечные весы, которые находятся в равновесии, если разность масс на их чашах не превосходит 1 г, а также гири массами ln 3, ln 4, ..., ln 79 г.

Можно ли разложить все эти гири на чаши весов так, чтобы весы находились в равновесии?

Найдите наименьшее натуральное число, десятичная запись квадрата которого оканчивается на 2016.

С левого берега реки на правый с помощью одной лодки переправились <i>N</i> туземцев, каждый раз плавая направо вдвоем, а обратно – в одиночку. Изначально каждый знал по одному анекдоту, каждый – свой. На берегах они анекдотов не рассказывали, но в лодке каждый рассказывал попутчику все известные ему на данный момент анекдоты. Для каждого натурального <i>k</i> найдите наименьшее возможное значение <i>N</i>, при котором могло случиться так, что в конце каждый туземец знал, кроме своего, еще не менее чем <i>k</i> анекдотов.

Можно ли четырьмя плоскостями разрезать куб с ребром 1 на части так, чтобы для каждой из частей расстояние между любыми двумя её точками было:

  а) меньше ⁴/₅;

  б) меньше ⁴/₇?

Предполагается, что все плоскости проводятся одновременно, куб и его части не двигаются.

В английском клубе вечером собрались <i>n</i> его членов  (<i>n</i> ≥ 3).  По традициям клуба каждый принес с собой сок того вида, который он предпочитает, в том количестве, которое он планирует выпить в течение вечера. Согласно правилам клуба, в любой момент любые три его члена могут присесть за столик и выпить сока (каждый – своего) в любом количестве, но обязательно все трое поровну. Докажите, что для того, чтобы все члены могли в течение вечера полностью выпить принесенный с собой сок, необходимо и достаточно, чтобы доля сока, принесенного каждым членом клуба, не превосходила одной трети от общего количества.

Внутри трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> отмечены точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что  <i>AM = CN</i>  и  <i>BM = DN</i>,  а четырёхугольники <i>AMND</i> и <i>BMNC</i> – вписанные. Докажите, что прямая <i>MN</i> параллельна основаниям трапеции.

Существует ли такое значение <i>x</i>, что выполняется равенство  arcsin²<i>x</i> + arccos²<i>x</i> = 1?

На шахматном турнире для 12 участников каждый сыграл ровно по одной партии с каждым из остальных. За выигрыш давали 1 очко, за ничью – ½, за проигрыш – 0. Вася проиграл только одну партию, но занял последнее место, набрав меньше всех очков. Петя занял первое место, набрав больше всех очков. На сколько очков Вася отстал от Пети?

В куб с ребром 1 поместили 8 непересекающихся шаров (возможно, разного размера). Может ли сумма диаметров этих шаров быть больше 4?

Бесконечную клетчатую доску раскрасили шахматным образом, и в каждую белую клетку вписали по отличному от нуля целому числу. После этого для каждой чёрной клетки посчитали разность: произведение того, что написано в соседних по горизонтали клетках, минус произведение того, что написано в соседних по вертикали. Могут ли все такие разности равняться 1?

Уравнение с целыми коэффициентами  <i>x</i>⁴ + <i>ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx + d</i> = 0  имеет четыре положительных корня с учетом кратности.

Найдите наименьшее возможное значение коэффициента <i>b</i> при этих условиях.

Внутри выпуклого четырехугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>B</i>₁ нашлась такая точка <i>C</i>, что треугольники <i>CA</i>₁<i>A</i>₂ и <i>CB</i>₂<i>B</i>₁ – правильные. Точки <i>C</i>₁ и <i>C</i>₂ симметричны точке <i>C</i> относительно прямых <i>A</i>₂<i>B</i>₂ и <i>A</i>₁<i>B</i><sub>1</sub&g...

В однокруговом хоккейном турнире принимало участие 2016 команд. По регламенту турнира за победу даётся 3 очка, за поражение 0 очков, а в случае ничьей назначается дополнительное время, победитель которого получает 2 очка, а проигравший – 1 очко. По окончании турнира Остапу Бендеру сообщили количество очков, набранных каждой командой, на основании чего он сделал вывод, что не менее <i>N</i> матчей закончились дополнительным временем. Найдите наибольшее возможное значение <i>N</i>.

В стране лингвистов существует <i>n</i> языков. Там живет <i>m</i> людей, каждый из которых знает ровно три языка, причём для разных людей эти наборы различны. Известно, что максимальное число людей, любые два из которых могут поговорить без посредников, равно <i>k</i>. Оказалось, что  11<i>n</i> ≤ <i>k ≤ ^m</i>/₂.

Докажите, что тогда в стране найдутся хотя бы <i>mn</i> пар людей, которые не смогут поговорить без посредников.

Существует ли 2016-значное число, перестановкой цифр которого можно получить 2016 разных 2016-значных полных квадратов?

Точка <i>O</i> – центр описанной окружности остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Прямая, перпендикулярная стороне <i>AC</i>, пересекает сторону <i>BC</i> и прямую <i>AB</i> в точках <i>Q</i> и <i>P</i> соответственно. Докажите, что точки <i>B, O</i> и середины отрезков <i>AP</i> и <i>CQ</i> лежат на одной окружности.

Васе задали на дом уравнение  <i>x</i>² + <i>p</i>₁<i>x + q</i>₁ = 0,  где <i>p</i>₁ и <i>q</i>₁ – целые числа. Он нашел его корни <i>p</i>₂ и <i>q</i>₂ и написал новое уравнение  <i>x</i>² + <i>p</i>₂<i>x + q</i>₂ = 0.  Повторив операцию еще трижды, Вася заметил, что он решал четыре квадратных уравнения и каждое имело два различных целых корня (если из двух возможных уравнений два различных корня имело ровно одно, то Вася всегда выбирал его, а если оба – любое). Однако, как ни старался Вас...

В треугольнике <i>ABC</i> на продолжении медианы <i>CM</i> за точку <i>C</i> отметили точку <i>K</i> так, что  <i>AM = CK</i>.  Известно, что угол <i>BMC</i> равен 60°.

Докажите, что  <i>AC = BK</i>.

Сумма трёх положительных чисел равна их произведению. Докажите, что хотя бы два из них больше единицы.