Олимпиадные задачи из источника «2016 год» для 7 класса
Чётное число орехов разложено на три кучки. За одну операцию можно переложить половину орехов из кучки с чётным числом орехов в любую другую кучку. Докажите, что, как бы орехи ни были разложены изначально, такими операциями можно в какой-нибудь кучке собрать ровно половину всех орехов.
Дан выпуклый пятиугольник <i>ABCDE</i>, все стороны которого равны между собой. Известно, что угол <i>A</i> равен 120°, угол <i>C</i> равен 135°, а угол <i>D</i> равен <i>n</i>°.
Найдите все возможные целые значения <i>n</i>.
Найдите наименьшее натуральное число, кратное 99, в десятичной записи которого участвуют только чётные цифры.
На медиане <i>AM</i> треугольника <i>ABC</i> нашлась такая точка <i>K</i>, что <i>AK = BM</i>. Кроме того, ∠<i>AMC</i> = 60°. Докажите, что <i>AC = BK</i>.
За круглым столом сидят 10 человек, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Двое из них заявили: "Оба моих соседа – лжецы", а остальные восемь заявили: "Оба моих соседа – рыцари". Сколько рыцарей могло быть среди этих 10 человек?
Можно ли число <sup>1</sup>/<sub>10</sub> представить в виде произведения десяти положительных правильных дробей?