Олимпиадные задачи из источника «Белорусские республиканские математические олимпиады» - сложность 2 с решениями

Доказать, что сумма цифр квадрата любого числа не может быть равна 1967.

Найти последние четыре цифры числа 5¹⁹⁶⁵.

Найти такое трёхзначное число <i>A</i>², являющееся точным квадратом, что произведение его цифр равно  <i>A</i> – 1.

Дан многочлен  <i>x</i>(<i>x</i> + 1)(<i>x</i> + 2)(<i>x</i> + 3).  Найти его наименьшее значение.

Вершины тысячеугольника занумерованы числами от 1 до 1000. Начиная с первой, отмечается каждая пятнадцатая вершина (1, 16, 31 и т.д.). Вершины отмечаются до тех пор, пока не окажется, что все отмечаемые вершины уже найдены. Сколько вершин останутся неотмеченными?

Найти все действительные решения уравнения<i> x²+</i>2<i>x sin xy+</i>1<i>=</i>0.

Среди комплексных чисел <i> p </i>, удовлетворяющих условию  |<i>p</i> – 25<i>i</i>| ≤ 15,  найти число с наименьшим аргументом.

Найти все решения системы уравнений <center><i>

<img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_2.gif">

</i></center> удовлетворяющие условиям0<i><img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif"> x<img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif">π,;; </i>0<i><img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif"> y<img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif">π </i>.

Доказать, что <center><i>

A= sin²</i>(<i>α+β</i>)<i>+ sin²</i>(<i>β-α</i>)<i>-</i>2<i> sin</i>(<i>α+β</i>)<i> sin</i>(<i>β-α</i>)<i> cos </i>2<i>α

</i></center> не зависит от<i> β </i>.

Делится ли многочлен  1 + <i>x</i>⁴ + <i>x</i>⁸ + ... + <i>x</i>^4<i>k</i>  на многочлен  1 + <i>x</i>² + <i>x</i>⁴ + ... + <i>x</i>^2<i>k</i>?

Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109154/problem_109154_img_2.gif">

Решить в целых числах уравнение  9<i>x</i> + 2 = (<i>y</i> + 1)<i>y</i>.

Доказать, что не существует многогранника, имеющего 7 рёбер.

Найти двузначное число, которое равно сумме куба числа его десятков и квадрата числа его единиц.

Решить уравнение  <i>x</i>² + 3<i>x</i> + 9 = 9<i>n</i>²  в целых числах.

Доказать неравенство  <i>abc</i>² + <i>bca</i>² + <i>cab</i>² ≤ <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴.

На продолжении наибольшей стороны<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>отложен отрезок<i> |CD|=|BC| </i>. Доказать, что<i> <img src="/storage/problem-media/109039/problem_109039_img_2.gif"> ABD </i>тупой.

Доказать, что площадь прямоугольника, вписанного в треугольник, не превосходит половины площади этого треугольника.

Найти все действительные решения системы уравнений

    <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 1,

    <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = 1.

Решить систему уравнений:

   <i>x</i>₁ + 12<i>x</i>₂ = 15,

   <i>x</i>₁ – 12<i>x</i>₂ + 11<i>x</i>₃ = 2,

   <i>x</i>₁ – 11<i>x</i>₃ + 10<i>x</i>₄ = 2,

   <i>x</i>₁ – 10<i>x</i>₄ + 9<i>x</i>₅ = 2,

   <i>x</i>₁ – 9<i>x</i>₅ + 8<i>x</i>₆ = 2,

   <i>x</i>₁ – 8&...

Трапеция, основания которой равны <i>a</i> и <i>b</i>  (<i>a > b</i>),  рассечена прямой, параллельной основаниям, на две трапеции, площади которых относятся как  <i>k</i> : <i>p</i>.  Найти длину общей стороны образовавшихся трапеций.

Из таблицы <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109019/problem_109019_img_2.gif"></div>выбраны<i>a</i>чисел так, что никакие два из выбранных чисел не стоят в одной строке или в одном столбце таблицы. Вычислить сумму выбранных чисел.

Окружность покрыта несколькими дугами. Эти дуги могут налегать друг на друга, но ни одна из них не покрывает окружность целиком. Доказать, что всегда можно выбрать несколько из этих дуг так, чтобы они тоже покрывали всю окружность и составляли в сумме не более<i> 720^o </i>.

Дано четыре положительных числа <i>a, p, c, k</i>, произведение которых равно 1. Доказать, что  <i>a</i>² + <i>p</i>² + <i>c</i>² + <i>k</i>² + <i>ap + ac + pc + ak + pk + ck</i> ≥ 10.

На дуге <i>AB</i> есть произвольная точка <i>M</i>. Из середины <i>K</i> отрезка <i>MB</i> опущен перпендикуляр <i>KP</i> на прямую <i>MA</i>.

Доказать, что все прямые <i>PK</i> проходят через одну точку.