Олимпиадные задачи из источника «Белорусские республиканские математические олимпиады» - сложность 1-2 с решениями

Доказать, что сумма цифр квадрата любого числа не может быть равна 1967.

Найти последние четыре цифры числа 5¹⁹⁶⁵.

Найти такое трёхзначное число <i>A</i>², являющееся точным квадратом, что произведение его цифр равно  <i>A</i> – 1.

Найти четыре последовательных числа, произведение которых равно 1680.

Дан многочлен  <i>x</i>(<i>x</i> + 1)(<i>x</i> + 2)(<i>x</i> + 3).  Найти его наименьшее значение.

Вершины тысячеугольника занумерованы числами от 1 до 1000. Начиная с первой, отмечается каждая пятнадцатая вершина (1, 16, 31 и т.д.). Вершины отмечаются до тех пор, пока не окажется, что все отмечаемые вершины уже найдены. Сколько вершин останутся неотмеченными?

Найти все действительные решения уравнения<i> x²+</i>2<i>x sin xy+</i>1<i>=</i>0.

Среди комплексных чисел <i> p </i>, удовлетворяющих условию  |<i>p</i> – 25<i>i</i>| ≤ 15,  найти число с наименьшим аргументом.

Найти все решения системы уравнений <center><i>

<img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_2.gif">

</i></center> удовлетворяющие условиям0<i><img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif"> x<img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif">π,;; </i>0<i><img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif"> y<img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif">π </i>.

Доказать, что <center><i>

A= sin²</i>(<i>α+β</i>)<i>+ sin²</i>(<i>β-α</i>)<i>-</i>2<i> sin</i>(<i>α+β</i>)<i> sin</i>(<i>β-α</i>)<i> cos </i>2<i>α

</i></center> не зависит от<i> β </i>.

Делится ли многочлен  1 + <i>x</i>⁴ + <i>x</i>⁸ + ... + <i>x</i>^4<i>k</i>  на многочлен  1 + <i>x</i>² + <i>x</i>⁴ + ... + <i>x</i>^2<i>k</i>?

Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109154/problem_109154_img_2.gif">

Решить в целых числах уравнение  9<i>x</i> + 2 = (<i>y</i> + 1)<i>y</i>.

Доказать, что     <img src="/storage/problem-media/109151/problem_109151_img_2.gif"> <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109151/problem_109151_img_3.gif"></div>

Доказать, что не существует многогранника, имеющего 7 рёбер.

Найти двузначное число, которое равно сумме куба числа его десятков и квадрата числа его единиц.

Найти наименьшее значение выражения  <i>x</i> + ¹/_4<i>x</i>  при положительных значениях <i>x</i>.

Решить уравнение  <i>x</i>² + 3<i>x</i> + 9 = 9<i>n</i>²  в целых числах.

Доказать неравенство  <i>abc</i>² + <i>bca</i>² + <i>cab</i>² ≤ <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴.

На продолжении наибольшей стороны<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>отложен отрезок<i> |CD|=|BC| </i>. Доказать, что<i> <img src="/storage/problem-media/109039/problem_109039_img_2.gif"> ABD </i>тупой.

Доказать, что площадь прямоугольника, вписанного в треугольник, не превосходит половины площади этого треугольника.

Найти все действительные решения системы уравнений

    <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 1,

    <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = 1.

Решить систему уравнений:

   <i>x</i>₁ + 12<i>x</i>₂ = 15,

   <i>x</i>₁ – 12<i>x</i>₂ + 11<i>x</i>₃ = 2,

   <i>x</i>₁ – 11<i>x</i>₃ + 10<i>x</i>₄ = 2,

   <i>x</i>₁ – 10<i>x</i>₄ + 9<i>x</i>₅ = 2,

   <i>x</i>₁ – 9<i>x</i>₅ + 8<i>x</i>₆ = 2,

   <i>x</i>₁ – 8&...

Трапеция, основания которой равны <i>a</i> и <i>b</i>  (<i>a > b</i>),  рассечена прямой, параллельной основаниям, на две трапеции, площади которых относятся как  <i>k</i> : <i>p</i>.  Найти длину общей стороны образовавшихся трапеций.

Из таблицы <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109019/problem_109019_img_2.gif"></div>выбраны<i>a</i>чисел так, что никакие два из выбранных чисел не стоят в одной строке или в одном столбце таблицы. Вычислить сумму выбранных чисел.