Олимпиадная задача: найти последние четыре цифры числа 5¹⁹⁶⁵ для 8-9 классов

Заметим, что  5ⁿ⁺⁴ ≡ 5ⁿ (mod 10⁴)  при  n ≥ 4.  Действительно,  5ⁿ⁺⁴ – 5ⁿ  делится на 5⁴ и  5⁴ ≡ 9² ≡ 1 (mod 16).  Число 1965 при делении на 4 даёт остаток 1, следовательно,  5¹⁹⁶⁵ ≡ 5⁵ = 3125 (mod 10⁴).