Олимпиадная задача по планиметрии и комплексным числам для 10–11 класса: найти число с наименьшим аргументом

Все комплексные числа, удовлетворяющие условию  |p – 25i| ≤ 15,  изображаются точками, лежащими внутри и на окружности круга с центром в точке 25i и радиусом 15 (см. рис.). Наименьший аргумент будет у правой точки касания радиус-вектора и окружности. Найдём координаты точки P касания OP с окружностью. Из прямоугольного треугольника OPB,  OP² = OB² – BP² = 25² – 15² = 20²  (OB = 25,  BP = 15),  PA ⊥ OB.  Из прямоугольного треугольника OPB:   AP = BP·^OP/_OB ,   AO² = OP² – AP² = 256.

12 + 16i.