Олимпиадные задачи из источника «1974 год» для 10 класса

Прямоугольный лист бумаги размером<i>a</i>×<i>b</i>см разрезан на прямоугольные полоски, каждая из которых имеет сторону 1 см. Линии разрезов параллельны сторонам исходного листа. Доказать, что хотя бы одно из чисел<i>a</i>или<i>b</i>целое.

Имеется несколько гирь, масса каждой из которых равна целому числу. Известно, что их можно разбить на <i>k</i> равных по массе групп.

Доказать, что не менее чем <i>k</i> способами можно убрать одну гирю так, чтобы оставшиеся гири нельзя было разбить на <i>k</i> равных по массе групп.

Существует ли такая последовательность натуральных чисел, чтобы любое натуральное число $1$, $2$, $3$, ... можно было представить единственным способом в виде разности двух чисел этой последовательности?

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят <i>n</i>, расположенные в порядке возрастания (<i>ряд Фарея</i>). Пусть ^<i>a</i>/_<i>b</i> и ^<i>c</i>/_<i>d</i> – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что  |<i>bc – ad</i>| = 1.

При каких <i>n</i> правильный <i>n</i>-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях?

(Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)

В таблицу <i>n×n</i> записаны <i>n</i>² чисел, сумма которых неотрицательна. Докажите, что можно переставить столбцы таблицы так, что сумма <i>n</i> чисел по диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний, будет неотрицательна.

Дан треугольник <i>C</i>₁<i>C</i>₂<i>O</i>. В нём проводится биссектриса <i>C</i>₂<i>C</i>₃, затем в треугольнике <i>C</i>₂<i>C</i>₃<i>O</i> – биссектриса <i>C</i>₃<i>C</i>₄ и так далее.

Докажите, что последовательность величин углов  γ<i>_n = C</i>_<i>n</i>+1<i>C_nO</i>  стремится к пределу, и найдите этот предел, если  <i>C</i>₁<i>OC</i><...

На<i>n</i>карточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которых<nobr>равно 1</nobr><nobr>или –1.</nobr>За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всех<nobr><i>n</i> чисел,</nobr>если за один вопрос разрешено узнать произведение чисел на<nobr>а) любых</nobr>трёх карточках;<nobr>б) любых</nobr>трёх карточках, лежащих подряд? (Здесь<nobr><i>n</i> —</nobr>натуральное число,<nobr>большее 3).</nobr>

а) На плоскости даны<i>n</i>векторов, длина каждого из которых<nobr>равна 1.</nobr>Сумма всех<i>n</i>векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех<nobr><i>k</i> = 1,</nobr>2, ...,<i>n</i>выполнялось следующее условие: длина суммы первых<nobr><i>k</i> векторов</nobr>не<nobr>превышает 3.</nobr>б) Докажите аналогичное утверждение для <i>n</i> векторов с <nobr>суммой 0,</nobr> длина каждого из которых не <nobr>превосходит 1.</nobr> в) Можно ли заменить <nobr>число 3</nobr> в <nobr>пункте а)</nobr> меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в <nobr>пункте б).</nobr>

На отрезке [0; 1] задана<nobr>функция <i>f</i>.</nobr>Эта функция во всех точках неотрицательна,<nobr><i>f</i>(1) = 1,</nobr>наконец, для любых двух неотрицательных чисел<i>x</i>₁и<i>x</i>₂, сумма которых не<nobr>превосходит 1,</nobr>величина<nobr><i>f</i> (<i>x</i>₁ + <i>x</i>₂)</nobr>не превосходит суммы величин<nobr><i>f</i>(<i>x</i>₁)</nobr>и<nobr><i>f</i>(<i>x</i>₂).</nobr>а) Докажите для любого числа <i>x</i> отрезка [0; 1] неравенство...

Обозначим через <i>T_k</i>(<i>n</i>) сумму произведений по <i>k</i> чисел от 1 до <i>n</i>. Например,    <i>T</i>₂(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4.

   а) Найдите формулы для <i>T</i>₂(<i>n</i>) и <i>T</i>₃(<i>n</i>).

   б) Докажите, что <i>T_<i>k</i></i>(<i>n</i>) является многочленом от <i>n</i> степени 2<i>k</i>.

   в) Укажите метод нахождения многочленов <i>T</i>_<i>k</i>(<i>n</i>) при  <i>k</i> = 2, 3, 4, ...  и примените его для о...

Какое наибольшее количество  а) ладей;  б) ферзей можно расставить на шахматной доске 8×8 так, чтобы каждая из этих фигур была под ударом не более чем одной из остальных?

Окружность разбита точками<i>A</i>₁,<i>A</i>₂,...,<i>A</i>_<i>n</i>на<nobr><i>n</i> равных</nobr>дуг, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги окружности (с концами в точках разбиения) называем одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвета всех дуг, совпадает с другой. (Например, на рисунке дуги<i>A</i>₂<i>A</i>₆и<i>A</i>₆<i>A</i>₁₀одинаково окрашены.)Докажите, что если для каждой точки разбиения <i>A</i><sub><i>k</i><...

При каких натуральных  <i>n</i> ≥ 2  неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73792/problem_73792_img_2.gif">   выполняется для любых действительных чисел <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, если

  а)  <i>p</i> = 1;

  б)  <i>p</i> = ⁴/₃;

  в)  <i>p</i> = ⁶/₅?

Вычислите квадратный корень из числа 0,111...111<nobr>(100 единиц)</nobr>с точностью до<nobr>а) 100;</nobr><nobr>б) 101;</nobr><nobr>в)* 200</nobr>знаков после запятой.

а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга.

б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.

в) Для каких правильных <i>n</i>-угольников верно аналогичное утверждение?

Квадрат 6×6 нужно заполнить 12 плитками, из которых <i>k</i> имеют форму уголка, а остальные  12 – <i>k</i>  – прямоугольника. При каких <i>k</i> это возможно?

Предлагается построить<i>N</i>точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точек<i>M</i>_<i>i</i>и<i>M</i>_<i>j</i>, где<i>i</i>и<nobr><i>j</i> —</nobr>любые числа<nobr>от 1</nobr><nobr>до <i>N</i>.</nobr>Можно ли провести построение, если расстояния <i>r</i>_<i>ij</i> заданы так, что всякие 5 из <i>N</i> точек построить можно? б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из <nobr><i>N</i> точек?</nobr> в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а...

Даны два набора из <i>n</i> вещественных чисел:  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>  и  <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b_n</i>.  Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:

  а) из  <i>a_i < a_j</i>  следует, что  <i>b_i ≤ b_j</i>;

  б) из  <i>a_i < a < a_j</i>,  где  <i>a</i> = ¹/_<i>n</i> (<i>a</i...

<i> n </i>отрезков<i> A₁ B₁ </i>,<i> A₂ B₂ </i>,<i> ... </i>,<i> A_n B_n </i>(рис. 5) расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку<i> G </i>(не лежащую на данных прямых) — центр тяжести единичных масс, помещенных в точках<i> A₁ </i>,<i> A₂ </i>,<i> ... </i>,<i> A_n </i>. Докажите, что <center><i>

<img align="absmiddle" src="/storage/problem-me...