б) Предположим, что при некоторых значениях a₁, a₂, ..., a_n и b₁, b₂, ..., b_n выполняется неравенство

n(a₁ b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n) < (a₁ + a₂ + ... + a_n)(b₁ + b₂ + ... + b_n).   (1)

  Если не все a_i равны между собой, то найдутся такие a_i и a_j, что  a_i < a < a_j. Рассмотрим числа a и  a_i + a_j – a;  большим из этих чисел заменим a_j, а меньшим a_i (при этом a_i увеличивается, а a_j уменьшается, причём на одну и ту же величину  Δ > 0,  так что  A_i = a_i + Δ,  A_j = a_j – Δ).

  Новые наборы {A_i}, {b_i} по-прежнему будут удовлетворять условию задачи. Если в новом наборе {A_i} не все числа оказываются одинаковыми, то снова проделаем указанную выше операцию и т.д. После конечного числа шагов мы получим набор, в котором уже все числа {a_i} равны a. Поскольку на каждом шаге правая часть неравенства (1) не менялась  (A_j + A_i = a_i + a_j),  а левая убывала

(A_ib_i + A_jb_j = (a_i + Δ)b_i + (a_j – Δ)b_j = a_ib_i + a_jb_j + Δ(b_i – b_j) < a_ib_i + a_jb_j,  так как  b_i – b_j < 0,  а  Δ > 0),  то и для последнего набора неравенство (1) должно выполняться. Но если все a_i равны a, то и левая и правая части неравенства (1) одинаковы и равны  na(b₁ + ... + b_n).  Противоречие.

Ответ задачи отсутствует