Олимпиадные задачи из источника «выпуск 6»

Обозначим через <i>T_k</i>(<i>n</i>) сумму произведений по <i>k</i> чисел от 1 до <i>n</i>. Например,    <i>T</i>₂(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4.

   а) Найдите формулы для <i>T</i>₂(<i>n</i>) и <i>T</i>₃(<i>n</i>).

   б) Докажите, что <i>T_<i>k</i></i>(<i>n</i>) является многочленом от <i>n</i> степени 2<i>k</i>.

   в) Укажите метод нахождения многочленов <i>T</i>_<i>k</i>(<i>n</i>) при  <i>k</i> = 2, 3, 4, ...  и примените его для о...

В углу шахматной доски стоит фигура. Первый игрок может ходить ею два раза подряд как обычным конём (на два поля в одном направлении и на одно – в перпендикулярном), а второй – один раз как конём с удлинённым ходом (на три поля в одном направлении и на одно – в перпендикулярном). Так они ходят по очереди. Первый стремится к тому, чтобы поставить фигуру в противоположный угол, а второй – ему помешать. Кто из них выигрывает (размеры доски – <i>n×n</i>, где  <i>n</i> > 3)?

В последовательности троек целых чисел  (2, 3, 5),  (6, 15, 10), ... каждая тройка получается из предыдущей таким образом: первое число умножается на второе, второе – на третье, а третье – на первое, и полученные произведения дают новую тройку. Докажите, что ни одно из чисел, получаемых таким образом, не будет степенью целого числа: квадратом, кубом и т.д.